Matematik 1 Dersi 1. Ünite Sorularla Öğrenelim

Küme nedir?

Belli bazı nesnelerin bir topluluk oluşturduğu kabul edilir ve bu topluluğa küme adı verilir. Bu kümeyi oluşturan nesnelere de kümenin elemanları denir. Küme elemanlarının kesin olması gerekmektedir.

Kesişim kümesi nedir?

Verilen kümelerden hepsine ait olan elemanlarla oluşturulan kümeye kesişim kümesi adı verilir.

A = {1, 2, 3} ve B = {2, 5, 6} ise A?B kümesi nedir?

Kesişim kümesi iki kümenin ortak elemanlarından oluşur. Bu durumda A?B = {2} olarak bulunur.

Birleşim kümesi nedir?

Verilen kümelerden en az birisine ait olan elemanlarla oluşturulan kümeye birleşim kümesi adı verilir.

A = {2, 4}, B = {3,2}, C = {4,5} olarak verilmiştir. A?B?C kümesinin elemanları nelerdir?

Birleşim kümesi {2, 3, 4, 5} elemanlarında oluşur. Farklı kümelerde bulunan aynı elemanlar yalnızca bir defa yazılırlar.

Boş küme nedir?

Hiçbir elemana sahip olmayan küme boş küme olarak adlandırılır.

Altküme nedir?

Bir kümedeki elemanlar başka bir kümenin de elemanı oluyorsa, bu kümeye öbür kümenin altkümesi denir. Diğer bir şekilde de diğer kümeye üstküme adı verilir.

A = {1, 6, 7} ve B = {2, 6, 7} kümelerinin kaç adet ortak altkümesi vardır?

İki kümede bulunan elemanların oluşturduğu küme; {6,7}’dir ve bu kümenin altkümeleri; Ø, {6}, {7} ve {6, 7} kümeleridir. Yani ortak 4 adet altkümeleri bulunmaktadır.

Kümeler için tümleyen ne ifade eder?

Üstkümede bulunup da altkümede bulunmayan elemanlara bu altkümenin üstkümedeki tümleyeni adı verilir.

A = {2, 5, 8, 17} kümesinin B = {2, 3, 5, 7, 8, 9, 15, 17} kümesine tümleyeni ile oluşan C kümesinin elemanları nelerdir?

C kümesi B üstkümesinde bulunan ve A altkümesinde bulunmayan elemanlardan oluşur. Öyleyse; C = {3, 7, 9, 15} olarak bulunur.

İki kümenin ayrık kümeler olması için hangi şart gerekir?

Ortak hiçbir elemana sahip olmayan kümeler ayrık küme olarak adlandırılır. Bu durumda iki kümenin ayrık küme olması için ortak elemana sahip olmamaları şartı gerekir.

Fark kümesi nedir? İki küme için kaç farklı fark kümesi vardır?

Verilen kümelerden bir kümedeki elemanların diğer kümelerden hiçbirinde olmayanları fark kümesini oluşturur. Bu durumda iki küme için; birinci kümenin ikinci kümeden farkı ve ikinci kümenin birinci kümeden farkı şeklinde iki ayrı fark kümesi oluşturulabilir.

A = {1, 3, 5, 7} kümesinin kaç altkümesinde 5 elemanı bulunur?

A altkümesinin toplamda 16 adet altkümesi bulunur. Bu işlem tek tek altkümeler yazılarak da bulunabilir. Ø, {1}, {3}, {5}, {7}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7} İkinci bir yöntem olarak, kümenin alt küme sayısı 2n ile bulunabilir. Buradaki n; kümenin eleman sayısını temsil eder. 2⁴ = 16 adet altküme bu şekilde de bulunabilir. 5 elemanını kümeden çıkardığınızda ise kalan elemanlar ile 2³ = 8 adet altküme oluşturulabilir. Bu durumda 16 altkümenin 8 tanesinde 5 elemanı bulunuyor demektir. 

Günümüzde kullandığımız sayma sayıları için oluşturulan sistem tarihte hangi uygarlıklar tarafından geliştirilmiştir?

Günümüzde kullandığımız sayı sistemi Sümer’de doğup, Babil’de olgunlaşmış ve Hint’te sıfır ile taçlanarak şu anki haline ulaşmıştır.

Günümüzde kullanılan sayı sisteminin temeli nedir?

Yazılan sayılar bir taban seçilerek bu tabana göre yazılır. Sayının her bir basamağı bu seçilen tabanın bir kuvvetini temsil eder. Günlük kullanımda bu seçilen taban on iken, bilgisayarlarda kullanılan sistem ikilik tabana dayanır.

47,34 sayısı 10’un kuvvetleri şeklinde parçalanırsa nasıl yazılır?

Virgülden önceki kısımlar 10’un pozitif kuvvetleri ile ifade edilir, virgülden sonraki kısımlar ise 10’un negatif kuvvetleri ile ifade edilir. Bu durumda 47,34 sayısı; 4x10¹ + 7x10⁰ + 3x10^-1 + 4x10^-2 şeklinde ifade edilebilir.

Bir yüzeyinin alanı 16 cm² olan küpün hacmi kaç cm³’tür?

Bir yüzey alanı 16 cm² olan küpün bir kenarı 4 cm’dir. Yüzey alanı iki kenarın çarpımıyla bulunur.

KxK = K² olur. Hacim ise yüzey alanın yükseklik ile çarpımıyla bulunur. Bu da KxK²= K³ olur.

16cm² x 4 cm = 64 cm³ bulunur.

5⁴x4² sayısı 10^x olarak yazılırsa, x kaçtır?

4² = (2²)² = 24 olur. 5⁴x2⁴ = 10⁴ olur. Aynı üsse sahip iki sayının çarpımı, tabanların çarpımı ile ifade edilebilir. Bu durumda x = 4 olmaktadır.

64² x 0,025² = a x 10^b ise a + b ne olur?

64 = 2⁶ ve 64² = 2¹²
2¹² = 2¹⁰ x 2²
0,025 = 5² x 10^-3
2¹⁰ x 2² x 5² x 10^-3 = 2¹⁰ x 10² x 10^-3
= 2¹⁰ x 10^-1 = 1024 x 10^-1

Bu durumda a = 1024 ve b = -1 olur. a + b de 1023 olarak bulunur. 

10⁸ x 4² x 2³ x 5⁷ = 10^a ise a kaçtır?

4² = (2²)² = 2⁴ olur.
2⁴ x 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷
2⁷ x 5⁷ = 10⁷
10⁸ x 10⁷ = 10⁸⁺⁷ = 10¹⁵ olarak bulunur.

Bir çocuğun babası çocuğuna her gün sonunda çocuğundaki misket sayısı kadar misket getireceğini söyler? İlk gün çocuğun elinde 5 misket vardır ve gün sonunda babası 5 misket verir. İkinci gün ise çocukta 10 misket olmuştur ve babası o günün sonunda 10 misket daha verir. Bu durum 12 gün boyunca devam eder. 13. gün çocuk kardeşine elindeki misketlerin onda birini verir. Çocuk kardeşine kaç misket vermiştir?

Babası çocuğa her gün elindeki misket sayısı kadar misket verir. Bu durumda her gün çocuğun elindeki misket sayısı 2 katına çıkar. Birinci gün sonunda 5x2, ikinci gün sonunda 5x2x2 şeklinde devam eder. Yani çocuğun elindeki misket sayısı 2ⁿ olur. Burada n gün sonunu temsil etmektedir. Çocuğun elinde 12. günün sonunda 5x2¹² adet misket vardır. Çocuk 13. gün henüz misket almamış ve elinde hala 5x2¹² misket varken, onda birini kardeşine vermiştir.

2¹² = 2¹¹⁺¹ = 2¹¹x2¹
5x2x2¹¹ = 10x2¹¹
10x2¹¹ /10 = 2¹¹ = 2048
Çocuk kardeşine 2048 adet misket vermiştir.

4^x+1 – 4^x-1 = 60 ise x kaçtır?

4^x+1 = 4^{(x-1) + 2} = 4² x 4^x-1 = 16 x 4^x-1
16 x 4^x-1 – 4^x-1 = 15 x 4^x-1
15 x 4^x-1 = 60
4^x-1 = 4
x-1 = 1
x = 2 olarak bulunur.

11 x 2ⁿ + 5 x 2ⁿ = 8⁴ ise n kaçtır?

11 x 2ⁿ + 5 x 2ⁿ = 2ⁿ (11 + 5)
16 x 2ⁿ = 2⁴ x 2ⁿ = 2^{4 + n}
8⁴ = (2³)⁴ = 2¹²
2⁴⁺ⁿ = 2¹²
4 + n = 12
n = 8

2^a+3 + 3 x 2^a+1 – 5 x 2^a= 72 ise a kaçtır?

2^a+3 = 2^a x 2³ = 8 x 2^a

3 x 2^a+1 = 3 x 2¹ x 2^a = 6 x 2^a

8 x 2^a + 6 x 2^a – 5 x 2^a = 9 x 2^a = 72

2^a = 8 = 2³

a = 3 olarak bulunur.

2^{2a + 6} sayısı 4^a sayısının kaç katıdır?

4^a = (2²)^a = 2^2a

2^2a+6 = 2^2a x 2⁶ = 64 x 2^2a

64 x 2^2a / 2^2a = 64 katı olarak bulunur.

Bir çiftçi bir tarlayı ilk iki gün üçer metre sürmüştür. Daha sonraki günler, bir ve iki önceki günlerde sürdüğü miktarların çarpımı kadar sürmüştür. Örneğin üçüncü gün, ikinci ve birinci günlerde sürdüğü miktarlar olan; 3 x 3 = 9 m sürmüştür. Buna göre bu çiftçi tarlayı 6. gün 9^a kadar sürmüşse a kaçtır?

Birinci gün 3 m İkinci gün 3 m

Üçüncü gün 3 x 3 = 3² m

Dördüncü gün 3² x 3 = 3³ m

Beşinci gün 3³ x 3² = 3⁵ m

Altıncı gün 3⁵ x 3³ = 3⁸ m sürmüştür.

3⁸ = (3²)⁴ = 9⁴ = 9^a

a = 4 olarak bulunur.

1985 sayısının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı ile onlar basamağındaki rakamın basamak değeri toplamı kaçtır?

Basamaklardaki sayı değerleri toplamı 1 + 9 + 8 + 5 = 23 olarak hesaplanır.

Onlar basamağındaki rakamın basamak değeri ise 80’dir. Onlar basamağındaki rakamın basamak değeri ve rakamların sayı değerleri toplamı; 80 + 23 = 103 şeklinde hesaplanır.

3 basamaklı iki pozitif tamsayının toplamı 1377 ise bu sayılardan küçük olanı en fazla kaç olabilir?

1377 sayısını ikiye bölersek 688,5 sayısını elde ederiz. Bu sayılar tamsayı olduğu için küçük 688 ve büyük 689 olursa toplamları 1377 yapar. Küçük sayının da alabileceği maksimum değer 688 olmuş olur.

Birbirinden farklı 4 pozitif tamsayının toplamı 108 ise bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir?

En büyük sayının en fazla değer alabilmesi için diğer üç sayının mümkün olan en küçük değerleri almaları gerekir. En küçük sayı, iki basamaklı en küçük pozitif tamsayı olan 10 değerini alır. Bu sayılar birbirinden farklı olduğu için diğer iki sayı 11 ve 12 değerlerini alabilir. Bu durumda bu üç sayının toplamı; 10 + 11 + 12 = 33 yapar. Geriye kalan en büyük sayının aldığı değer ise; 108 – 33 = 75 olur.

4, 2, 7 ve 0 rakamları ile oluşturulabilecek 3 basamaklı en büyük sayı ile en küçük sayının farkı kaç olur?

Bu rakamlarla oluşturulabilecek üç basamaklı en büyük sayı 742’dir. Aynı şekilde en küçük sayı da 204 olur. Bu iki sayı arasındaki fark; 742 – 204 = 538 olarak bulunur.

İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde sayı 45 büyüyor ise bu sayının rakamları arasındaki fark kaçtır?

Bu iki basamaklı sayıya ab dersek ba sayısı ab sayısından 45 daha büyük oluyor. Bu iki sayı arasındaki fark;

ba – ab = 45

9b – 9a = 45

9(a – b) = 45

a – b = 5 olarak bulunur.

Tam sayılar (Z) kümesini liste yöntemiyle gösteriniz.

Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

A= {x | x<10, x çift doğal sayı} olmak üzere, A kümesinin elemanlarını yazınız.

A= {0,2,4,6,8}

A= {x | -2<x<12, x tek doğal sayı}

B= {y | 3<y?9, y tam sayı}

kümeleri veriliyor. A ? B kümesinin elemanlarını yazınız.

A= {1,3,5,7,9,11} ve B= {4,5,6,7,8,9}  

A ? B = {5,7,9}  

A= {ESKİŞEHİR kelimesindeki sessiz harfler }

B= {Alfabemizin ilk 14 harfi}

kümelerine göre A \ B kümesinin elemanlarını yazınız.

A \ B= {S,Ş,R}

Sıfır rakamını hangi uygarlık icat etmiştir?

Hint uygarlığı

Doğal sayıların yazım sistemi kaçlık sayma sistemidir?

Onluk

Sıfırdan farklı bir reel sayının sıfırıncı kuvveti kaça eşittir?

1

İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan reel sayılara ne ad verilir?

İrrasyonel sayı

Kesişimleri boş küme olan kümelere ne ad verilir?

Ayrık kümeler