Yöneylem Araştırması Dersi 7. Ünite Özet

Giriş

Doğrusal programlama modelinde amaç fonksiyonu enküçükleme veya enbüyükleme şeklinde oluşturulur. Gerçek hayatta ise karşılaşılan problemlerin çoğu birden fazla ve genellikle birbiriyle çelişen amaca sahiptir. Örneğin, elektronik ürünler satan bir işletme yaz mevsiminde klima satışlarında karını enbüyüklemek isterken, elde tutulan kima stoku miktarının en yüksek düzeyde olmasını ve diğer bir yandan da envanter taşıma maliyetlerinin enküçüklenmesini ister.

Birden fazla amacın aynı anda ele alındığı bu tür karar problemlerinin çözümünde doğrusal programlama yöntemi yetersiz kalmaktadır. Birden fazla amacın eniyilemeye çalışıldığı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar verme yöntemlerine ihtiyaç duyulur. Bu yöntemlerden biri de Hedef Programlama yöntemidir.

Hedef Programlama yönteminde her bir amaç bir hedefi oluşturmaktadır. Bu yöntem ile tüm sistem kısıtlarının sağlandığı ve mümkün olduğunca tüm hedeflere ulaşan bir çözüm elde edilir. Belirlenen hedeflerin tam olarak gerçekleşmemesi durumunda defer değerlerinden istenmeyen yöndeki sapmalar enküçüklenir. Elde edilen çözümde bazı amaçlar en iyi hedefine ulaşırken, diğer amaçlar en iyi çözüme ulaşmayabilir. Dolayısıyla, sonuç değer mümkün olduğunca karar vericileri tatmin eden en uzlaşık çözüm olacaktır. Birden fazla ve genellikle çelişen amaçları içermesinin yanı sıra, hedef programlamayı doğrusal programlamadan ayrıran bir diğer özelliği de amaç fonksiyonunda yer alan sapma değişkenlerinin farklı ölçeklerle ifade edilebilir olmasıdır.

Bir depo ve envanter sisteminden örnek verecek olursak, envanter maliyerlerini enküçüklemek ve envanter seviyesini en uygun miktarda tutmak öncelikli amaçlardandır. Burada belirlenen hedefler doğrultusunda enküçüklenecek olan sapmalardan biri para birimi diğeri de envanter türüne göre envanter sayısı/ağırlık vb. ölçeğinde olacaktır.

Hedef Programlamada Temel Kavramlar

• Amaç: Karar vericinin isteğinin genel durumunu gösteren ifadedir.
• Hedef: Belirlenen amaç için başarmak istenilen kesin ifadedir. Bir başka deyişle, istenilen seviye ile belirlenmiş bir amaçtır.
• Kısıtlar: Sistem Kısıtları ve Hedef Kısıtları olmak üzere ikiye ayrılır.

1. Sistem Kısıtları: Tam olarak sağlanması gereken ve sapmaya izin verilmeyen kısıtlardır.
2. Hedef Kısıtları: Karar vericinin ulaşmayı istediği veya gerekli gördüğü hedefler, hedef programlama modeline hedef kısıtları olarak aktarılır. Hedef kısıtları çok katı olamayıp hedeflenen değerlerden (sağ taraf değerleri) sapmaların açıklanmasıyla ortaya çıkan esnek kısıt fonksiyonlarıdır.

• Sapma değişkenleri: Sadece hedef kısıtları ve modelin amaç fonksiyonunda yer alan sapma değişkenleri, istenilen hedefin aşılması ve altında kalınması durumlarını gösteren değişkenlerdir. Her bir hedef için birer negatif ve pozitif sapma değişkeni tanımlanır. Sapma değişkenleri negatif değer alamazlar.

1. Pozitif sapma değişkeni (d _i ⁺ ): Hedefin ne kadar aşıldığını gösteren değişkendir.
2. Negatif sapma değişkeni (d _{i ^-} ): Hedefin ne kadar altında kalındığını gösteren değişkendir.

Hedef kısıtlarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya istenmeyen değişken olarak da adlandırılır.

• Hedef kısıtı ? yönünde ise d _i ⁺ istenen, d _i ^- i stenmeyen sapma değişkenidir.
• Hedef kısıtı ? yönünde ise d _i ^- istenen, d _i ⁺ istenmeyen sapma değişkenidir.
• Hedef kısıtı = ise d _i ⁺ ve d _i ^- istenmeyen sapma değişkenidir.

Başarı Fonksiyonları: Her bir amaç için belirlenen hedeften olabilecek sapmaları en küçükleyen fonksiyonlardır.

Amaç fonksiyonu: Hedef programlamada amaç, hedef değerlerinden istenmeyen yöndeki sapmaları enküçüklemektir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu, tüm başarı fonksiyonlarının bir öncelik seviyesi ve/veya ağırlığa göre toplamları şeklinde yazılan fonksiyondur.

Doğrusal Hedef Programlamanın Varsayımları

Negatif olmama varsayımı: Modelde yer alan karar ve sapma değişkenleri pozitif (sıfır veya sıfırdan büyük) olmalıdır. x _j , d _i ⁺ , d _i ^- ? 0 ? (i, j) (? simgesi herbir anlamı taşımaktadır).

Amaçlara öncelik verilmesi varsayımı: Karar vericiler modelde yer alan her bir amaca ya da amaç grubuna bir öncelik verebilir. En önemli amaç önceliği, bir başka deyişle birinci öncelikli amaç önceliği P 1 ile gösterilir. İkinci öncelikli amaç için P 2 gösterimi kullanılır.

Amaçların ağırlıklandırılması varsayımı: Doğrusal hedef programlama modelindeki sapmaların önem dereceleri birbirinden farklı olabilir. Bu durumda sapmalara ağırlık değerleri verilebilir. Bu ağırlıklar, her bir sapmanın diğerlerine oranla göreceli olarak önemini gösterir.

P ₁ > P 2 > P 3 > … > P k durumunda en önemli hedef P 1 , en az önemli hedef ise P k ile gösterilir.

Hedef Programlamanın önemli özelliklerinden birbiri de hedeflerin önemine göre öncelik atamasının yapılabilmesidir.

Hedef Programlama ve Doğrusal Programlama Arasındaki Farklar

Doğrusal programlamada amaç en iyi çözümü elde etmek iken, doğrusal hedef programlamada amaç mümkün olduğunca en iyi çözümü elde etmektir. Doğrusal programlama modelinde tek bir amaç eniyilenmeye çalışılır. Doğrusal hedef programlama modelinde ise birden fazla amaç için hedef değerleri belirlenir ve bu hedeflerin hepsi modele alınır. Doğrusal programlama modelindeki sistem kısıtları kesinlikle sağlanması gereken katı kısıtlardır.

Doğrusal hedef programlama modelinde sistem kısıtlarının yanı sıra hedef kısıtları yer alır. Hedef kısıtları ise sapmalara izin verilen esnek kısıttlardır. Doğrusal programlama modelindeki amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer alırken, hedef programlama modelinde amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer almaz. Hedef programlama modelindeki amaç fonksiyonu negatif ve/veya pozitif sapma değişkenlerinden oluşur. Doğrusal programlamada amaç fonksiyonu enbüyükleme ya da enküçükleme şeklinde iken, hedef programlamada amaç fonksiyonu sadece enküçükleme şeklindedir.

Doğrusal Hedef Programlama Türleri

Tek Hedefli Programlama: Ele alınan problemin tek bir hedefi olması durumunda ortaya çıkan programlama türüdür.

Eşit Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama: Ele alınan problemin hedeflerinin herhangi bir önceliğinin bulunmaması ve sapma değişkenlerinin de eşit önemli olması halinde ortaya çıkan programlama türüdür.

Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama: Hedeflerdeki sapma değişkenlerinin önem derecelerinin birbirinden farklı olması halinde sapma değişkenlerine w _i ağırlık değerleri verilebilir. Bu ağırlıklar, her bir sapma değişkeninin diğerine oranla göreceli olarak önemini gösterir.

Öncelikli Çok Hedefli Programlama: Öncelikli hedef programlamada karar verici hedeflere bir öncelik belirler ve bu önceliklere göre hedefleri sıralandırır. Buradaki temel fikir, ilk öncelikli hedef ve/veya hedeflerin sonraki öncelik seviyesindeki hedef ve/veya hedeflerden önce gerçekleştirilmesidir.

Öncelikli-Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama: Doğrusal programlamadan farklı olarak, doğrusal hedef programlamada belirlenen amaç ve hedefler doğrultusunda hedef kısıtları oluşturulur.

Doğrusal Hedef Programlamada Karar Modelinin Oluşturulması

Hedef Kısıtlarının Oluşturulması: Hedef kısıtları, belirlenen hedef türüne bağlı olarak oluşturulur. Hedef kısıtlarının gerçekleştirilmesine çalışılmadan önce, mutlaka tüm sistem kısıtları sağlanmalıdır. Hedef programlamada üç tür hedef vardır. Bu hedefler;

1. Altına düşmek istenmeyen alt sınırı belirleyen tek taraflı hedef
2. Üstüne çıkmak istenmeyen üst sınırı belirleyen tek taraflı hedef
3. Her iki tarafta da bir kayıp istenmediğinde belirlenen spesifik hedef. Bu hedef tam olarak sağlanmalıdır.

Amaç Fonksiyonunun Oluşturulması: Doğrusal hedef programlama modelinde amaç fonksiyonu sadece sapma değişkenlerinden oluşmaktadır. Doğrusal hedef programlama modelinde amaç fonksiyonu sadece sapma değişkenlerinden oluşmaktadır. Amaç fonksiyonunda karar değişkenleri yer almaz. Amaç fonksiyonunda yer alacak sapma değişkenleri hedef türüne bağlıdır.

Modelleme: Doğrusal hedef programlama modelinin kuruluşunda izleyen adımlar sırasıyla uygulanır:

1. Karar değişkenlerinin (x _j ) belirlenmesi.
2. Sistem kısıtlarının belirlenmesi.
3. Belirlenen hedefler doğrultusunda hedef kısıtlarının belirlenmesi.
4. Modelde yer alan tüm değişkenler için negatif olmama kısıtının oluşturulması.
5. Karar vericilere bağlı olarak gerekli durumlarda hedeflerin önceliklerinin belirlenmesi.
6. Karar vericilere bağlı olarak gerekli durumlarda hedeflerin ağırlıklarının belirlenmesi.
7. Amaç fonksiyonunun oluşturulması.

Hedef Programlamada Çözüm Yaklaşımları

Doğrusal hedef programlama problemlerinin çözümünde kullanılan iki tür yaklaşım bulunmaktadır:

Grafik yöntemi ve Simpleks yöntemi. Bu ders kapsamına uygun olarak Simpleks çözüm yaklaşımına ünitemizde yer verilmemiştir.

Grafik Yöntemi: Hedef kısıtları, sistem kısıtlarının oluşturduğu uygun çözüm alanın dışında değer alamazlar. Grafik yönteminde, sistem kısıtları grafik üzerinde çizildikten sonra bir uygun çözüm alanı sağlanıyorsa, ikinci adımda hedef kısıtlarının grafik üzerinde çizimi yapılır. Bu yöntem iki karar değişkeni olan problemlerde etkin bir şekilde kullanılmaktadır.