Sağlık Alanında İstatistik Dersi 3. Ünite Sorularla Öğrenelim

İstatistik hangi sorunlar ile ilgilenir?

İstatistik çoğu zaman gözlenen veriler üzerinde
çıkarımda bulunma ve belirsizlik durumunda karar alma
sorunuyla ilgilenir. Örneğin, bir diyetisyen gıda katkı
maddelerine ilişkin deney yaptığında, bir kalite kontrol
uzmanı incelediği herhangi bir ürünü onaylarken, bir
iktisatçı gelecekteki ekonomik duruma ilişkin öngörüde
bulunurken, bir sigortacı yaşam sigortası primlerini
belirlerken bir gazeteci seçim sonucunu önceden tahmin
ederken hep bir belirsizlik durumu söz konusudur.
Belirsizlik içeren durumlar için model belirlemede olasılık
kurallarından yararlanılır.

Olasılık nedir?

Genel anlamıyla herhangi bir olayın gerçekleşme
şansının sayısal ölçümüne olasılık adı verilir. Buna göre
olasılık, olaylara ilişkin belirsizlik derecesinin ölçüleri
olarak kullanılabilir. Eğer olasılık mevcutsa olayların
gerçekleşme şansı tespit edilebilir. 0 ile 1 arasında (0 ve 1
dahil) değerler alan ve bir olayın gerçekleşme şansını
belirten sayıya olasılık denir.

Olasılığın 0 veya 1 olması neyi ifade eder?

Olasılık değerleri, daima 0 ile 1 arasında bir
değer alır. Olasılık değerinin 0 olması olayın gerçekleşme
şansının bulunmadığını, 1 olması ise olayın kesinlikle
gerçekleşeceğini göstermektedir. 0 ile 1 arasındaki olasılık
değerleri, olayın gerçekleşme şansının derecesini temsil
eder.

Deney nedir?

Olası gözlemlerden yalnızca birinin
gerçekleşmesi ile sonuçlanan sürece deney adı verilir.
Deney, iyi tanımlanmış sonuçlar üreten bir süreç olarak da
tanımlanabilir. Bir deneyin herhangi bir tekrarında, olası
sonuçlardan yalnızca bir tanesi gerçekleşir.

Sonuç nedir?

Deneyin sona erme biçimine ise sonuç adı verilir.
Bir deneyin iki ya da ikiden fazla olası sonucu bulunur ve
bu sonuçlardan hangisinin gerçekleşeceği belirsizdir.

İstatistikteki deney kavramı ile doğa bilimlerindeki
deney kavramı arasında ne fark bulunmaktadır?

Cevap: İstatistikteki deney kavramı, doğa bilimlerindeki
deney kavramından biraz farklıdır. Doğa bilimlerinde
araştırmacılar genellikle bir olgunun neden ve etkilerine
ilişkin bilgi edinmek amacıyla bir laboratuvar ya da
kontrollü bir ortamda deney yaparlar. İstatistiksel
deneylerde ise sonuçları olasılık belirler. Deney aynı
şekilde tekrar edilse bile tamamen farklı bir sonuç ortaya
çıkabilir. Olasılığın sonuca olan bu etkisinden dolayı,
istatistiksel deneyler rassal deney olarak da adlandırılır.

Örneklem uzayı nedir?

Bir deneyde olası tüm sonuçların belirlenmesiyle,
bu deney için örneklem uzayı tanımlanmış olur.
Dolayısıyla bir deneyin tüm olası sonuçlarından oluşan
kümeye örneklem uzayı adı verilir ve bu küme S harfi ile
gösterilir. Başka bir deyişle bir deneyin örneklem uzayı,
bu deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir.

Örneklem uzayı noktası nedir?

Deneyin olası tüm sonuçlarına örneklem uzayının
bir elemanı karşılık gelir. Bu elemana örneklem uzayı
noktası adı verilir.

Olay nedir?

Deneyin olası tüm sonuçlarına örneklem uzayının
bir elemanı karşılık gelir. Bu elemana örneklem uzayı
noktası adı verilir.

Saymanın temel ilkesi nasıl çalışmaktadır?

Çok-adımlı deneyler için geliştirilen saymanın
temel ilkesi yardımıyla herhangi bir listeleme yapmaya
gerek kalmadan deneylerin olası sonuç sayısı
belirlenebilir. Bu ilkeye göre; eğer bir deney, birinci
adımında n1 olası sonuç, ikinci adımında n2 olası sonuç, kinci
adımında nk olası sonuç bulunan k adımlı bir deney
olarak tanımlanabiliyorsa bu deney için toplam olası sonuç
sayısı
(n1) (n2)... (nk)
olarak verilir. Örneğin, iki adet bozuk para atma
deneyinde, birinci adımın ilk paranın atılması, ikinci
adımın da ikinci paranın atılması olduğu ve bu
adımlardaki olası sonuç sayılarının n1 = 2 ve n2 = 2 olduğu
düşünülürse saymanın temel ilkesine göre bu deney için
(n1)(n2) = 2.2 = 4
ayrı olası sonuç olacaktır. Buna göre örneklem uzayı
yukarıda verildiği gibi,
S = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}
biçiminde elde edilir. Bu mantıkla 4 adet bozuk para atışı
içeren bir deneydeki olası sonuç sayısı ise,
(n1) (n2) (n3) (n4) = 2.2.2.2 = 16
olacaktır.

Kombinasyon nedir?

İkinci sayma kuralı olan kombinasyon
yardımıyla, N sayıda nesne arasından n adet nesnenin
diziliş sırası dikkate alınmadan kaç farklı biçimde
seçilebileceği yani bu seçimdeki olası sonuç sayısı
belirlenebilmektedir. Buna göre, N sayıda nesneden n
tanesi (n ≤ N) rastgele olarak seçilir ve n birim herhangi
bir sırada yazılırsa buna n-dereceli kombinasyon adı
verilir.

Permütasyon nedir?

Üçüncü sayma kuralı olan permütasyon
yardımıyla N sayıda nesne arasından n adet nesnenin
seçim sırası önemli olduğunda kaç farklı biçimde
seçilebileceği belirlenebilmektedir. Tanım olarak vermek gerekirse, n sayıda elemandan oluşan bir kümenin
herhangi bir alt kümesinden yapılan her farklı sıralamaya
bir permütasyon denir.

Kombinasyon ve permütasyon arasında nasıl bir fark
vardır?

Permütasyonda, sıralanan nesnelerin diziliş sırası
önemlidir. Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark;
seçim esnasında nesnelerin diziliş sıralaması
kombinasyonda önemli değil iken permütasyonda bu
sıralamanın önemli olmasıdır. Örneğin, X, Y ve Z ile
belirtilen üç adet nesneden iki tanesi, bu nesnelerin seçim
sırası önemli olacak şekilde seçilmek istensin. Bu
durumda (XY), (YX), (XZ), (ZX), (YZ) ve (ZY) olmak
üzere 6 farklı seçim yapılabilir. Aynı üç nesnenin ikili
kombinasyonu belirlenmek istenseydi, kombinasyonda
nesnelerin sıralaması önemli olmadığı için örneğin (XY)
ile (YX) aynı seçimler olacaktı. Bu durumda ise ancak 3
farklı seçim yapılabilecekti.

Permütasyonun özellikleri nelerdir?

Permütasyonun özellikleri aşağıda sıralanmıştır:
• n adet farklı nesne bir daire çevresinde (n-1)!
farklı şekilde sıralanabilir
• n1 tanesi birinci tür, n2 tanesi ikinci tür, nk tanesi
ise k-inci türden olan n adet nesne bulunsun.
Burada, n1 + n2 +...+ nk = n olsun. n adet
nesnenin tümü sıralanırsa elde edilecek farklı
düzen sayısı, n!/n!.n2!Knk! eşitliği yardımı ile
bulunur.

Olasılık hesaplama yöntemleri nelerdir?

Olasılık hesaplama amacıyla en sık kullanılan üç
yaklaşım aşağıda sıralanmıştır:
• Klasik yöntem,
• Göreli frekans yöntemi,
• Öznel (subjektif) yöntem.

Klasik olasılık hesaplama yöntemi nedir?

Olasılık hesaplamada klasik yöntem, deneyin olası
tüm sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu durumlarda geçerli
bir yöntemdir. Buna göre, bir deneyde olası sonuç sayısı n
ise, her bir olası sonucun gerçekleşme olasılığı 1/n oranı
ile belirlenir. Bu yaklaşım kullanılırken, yukarıda
belirtilen olasılık hesaplamalarında sağlanması gereken iki
temel kural kendiliğinden sağlanır. Örneğin hilesiz bir zar
atılması deneyinde, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olarak ortaya çıkan
altı
olası sonuç eşit olasılıklıdır. Bu durumda, bu altı eşit
olasılıklı sonuçtan birinin, söz gelimi zarın 3 gelme
olasılığı, yani P(3) = 1/6 olacaktır. Benzer olarak zarın 1,
2, 4, 5 veya 6 gelme olasılıklarının tümü 1/6’ya eşittir.
Dikkat edilirse, belirlenen bu olasılıklar yukarıda verilen
olasılığın iki temel kuralını sağlamaktadır. Çünkü tüm
olasılıklar 0 ile 1 arasında değer almakta ve altı adet
olasılığın toplamı 1 yapmaktadır.

Göreli frekans olasılık hesaplama yöntemi nedir?

Olasılık hesaplamada kullanılan ikinci yöntem
olan göreli frekans yöntemi, deney çok fazla sayıda tekrar
ediliyorsa, eldeki verilerin olası sonucun gerçekleşme
oranını tahmin etmeye elverişli olduğu durumlarda
kullanılan bir yöntemdir. Olasılık hesaplama yöntemleri
arasında deneysel bir yaklaşım olarak kabul gören göreli
frekans yöntemine göre bir olayın gerçekleşme olasılığı,
bu olayın uzun dönemde gerçekleşme oranına eşittir.
Örneğin,
“Belli bir hastanede ileri bir tarihte ultrason çektirmek
üzere sıra alan herhangi bir hastanın ilk üç ay içinde
ultrason çektirememe olasılığı %75’tir.” denildiğinde,
hastanın ilk üç ay içinde ultrason çektirip
çektiremeyeceğine ilişkin kesin bir bilgi edinememekle
birlikte, uzun dönemde toplanan verilere dayalı olarak bu
hastanede ilk üç ay içerisinde ultrason çektirebilen hasta
oranının yaklaşık olarak 0,25 olduğu söylenebilir.

Öznel olasılık hesaplama yöntemi nedir?

Olasılık hesaplamada kullanılabilecek üçüncü
yöntem olan öznel ya da subjektif yöntem, olası sonuçların
eşit olasılıklı olarak varsayılamadığı ve elde çok fazla veri
bulunmadığı durumlarda başvurulan bir yöntemdir. Bir
deneyin tekrarlanmasının güç olduğu durumlarda olasılık
hesaplamak üzere öznel yöntem kullanılır. Olası
sonuçların olasılıklarının belirlenmesinde öznel yöntem
kullanıldığında, genellikle duruma ilişkin kişisel sezgiler
ya da önceki tecrübeler gibi eldeki herhangi bir bilgiye
başvurulabilir. Mevcut tüm bilgiler değerlendirildikten
sonra, olası sonucun gerçekleşme düşüncesinin derecesini
ifade eden 0 ile 1 arasında bir olasılık değeri belirlenir.
Çünkü öznel ya da sübjektif olasılık, bir olayın gerçekleşip
gerçekleşmemesine ilişkin olarak bir kimsenin yürüttüğü
tahminin derecesini belirtir. Bu yöntemde belirlenen
olasılık kişiye göre değiştiği için, farklı kişiler aynı olası
sonuca ilişkin olarak farklı olasılıklar belirleyebilirler.
Öznel yöntemde olasılığın iki temel kuralı olarak verilen
koşulların sağlanması için daha çok dikkat edilmesi
gerekir.
Klasik ya da göreli frekans yaklaşımlarının
uygulanabildiği durumlarda bile, kişiler öznel olasılık
tahmininde bulunmak isteyebilirler. Bu gibi durumlarda en
iyi olasılık tahminleri genellikle klasik ya da göreli
frekans yaklaşımlarında biriyle öznel olasılık tahmininin
birleştirilmesi yoluyla elde edilir.

Bir olayın gerçekleme olasılığı nedir?

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ise bu olaydaki
olası sonuçların olasılıkları toplamına eşittir. Bu tanıma
göre belli bir olayın gerçekleşme olasılığı, bu olayı
oluşturan örneklem uzayı noktalarının, yani olası
sonuçların olasılıklarının toplanması yoluyla hesaplanır.
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının ve bunların her birinin
olasılıklarının belirlenebildi- ği durumlarda, verilen tanım
kullanılarak bir olayın gerçekleşme olasılığı
hesaplanabilir. Bununla birlikte, birçok deneyde çok
sayıda olası sonuç bulunması nedeniyle bu olası
sonuçların tanımlanması ve olasılıklarının belirlenmesi
son derece zorlaşmaktadır.

Bir olayın tümleyeni nedir?

Verilen bir A olayının tümleyeni, örneklem
uzayında A olayının dışında kalan tüm örneklem uzayı
noktalarını içeren olay olarak tanımlanır ve AT olayının
tümleyeni ile gösterilir. Herhangi bir olasılık
uygulamasında, A ya da bunun tümleyeni olan AT
olaylarından biri mutlaka gerçekleşmelidir.

Toplama kuralı nedir?

Toplama kuralı, örneklem uzayında yer alan A ve
B gibi herhangi iki olaydan en az birinin gerçekleşme
olasılığının hesaplanmasında kullanılır. Bir diğer deyişle
A olayının veya B olayının ya da her ikisinin birden
gerçekleşme olasılığı araştırılırken toplama kuralından
yararlanılır.

Koşullu olasılık nedir?

Bazı durumlarda bir olayın gerçekleşme olasılığı,
bu olayla ilişkili başka bir olayın daha önce gerçekleşip
gerçekleşmediğinden etkilenir. Söz gelimi, A olayının
gerçekleşme olası- lığı P(A) olsun. A olayı ile ilişkili bir B
olayının da önceden gerçekleştiği bilgisi elde edilmiş
olsun. Böylece, A olayı için yeni bir olasılık hesaplanarak,
elde edilen bu yeni bilgiden de yararlanılmak istenebilir.
Buna göre, B olayının gerçekleştiği bilindiğinde, A
olayının gerçekleşme olasılığı koşullu olasılık olarak
adlandırılır ve bu olasılık P(A|B) ile gösterilir. “|”
gösterimi, herhangi bir olayının gerçekleşme koşulu
altında bir diğer olayın koşullu olasılığını belirtmede
kullanılır. Buna göre, P(A|B) gösterimi, “B bilindiğine
göre, A’nın koşullu olasılığı” biçiminde okunur.

Bağımsız ve bağımlı olaylar nelerdir?

Örneklem uzayında yer alan A ve B gibi herhangi
iki olay için bu olaylardan herhangi birinin
gerçekleştiğinin bilinmesi, diğerinin gerçekleşme
olasılığını değiştirmiyor ise bu iki olaya bağımsız olaylar
adı verilir. Bunun tersi duruma, yani bu iki olaydan
herhangi birinin gerçekleştiğinin bilinmesi diğerinin
gerçekleşme olasılığını etkiliyorsa böyle olaylara da
bağımlı olaylar denir. Eğer, P(A|B) = P(A) ya da P(B|A) =
P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Aksi halde,
yani P(A|B) ≠ P(A) ya da P(B|A) ≠ P(B) ise A ve B
olayları bağımlı olaylardır.

Çarpma kuralı nedir?

A ve B gibi herhangi iki olay için bu olayların
birlikte gerçekleşme olasılığı; A olayının gerçekleşme
olasılığı ile A’nın gerçekleştiği bilindiğine göre B’nin
koşullu olasılığının çarpımına ya da B olayının
gerçekleşme olasılığı ile B’nin gerçekleştiği bilindiğine
göre A’nın koşullu olasılığının çarpımına eşittir.

Bayes teoremi nedir?

Koşullu olasılıkta yeni bir bilgi elde edildiği
zaman olasılıkların değişmesi, olasılık çözümlemesinin
önemli bir evresini oluşturmaktadır. Çoğu durumda
çözümlemeye, incelenen belirli bir olay için başlangıç ya
da önsel olasılıklar tahmin edilerek başlanır. Eldeki
mevcut bilgi seviyesine dayalı başlangıç olasılığına önsel
olasılık adı verilir. Ardından, örneklem verileri ya da özel
bir rapor vb. gibi kaynaklardan olaylara ilişkin ek bilgiler
elde edilebilir. Bu yeni bilgiler göz önüne alındığında,
önsel olasılık değerleri yeni olasılıklar hesaplanarak
güncellenir ve güncellenen bu olasılıklar sonsal olasılıklar
olarak adlandırılır. Bayes teoremi ise bu sonsal
olasılıkların hesaplanmasında kullanılan bir araçtır. Bayes
teoremi kullanıldığında, olasılık değişim sürecinde
izlenecek adımlar sırasıyla önsel olasılıkların
hesaplanması, yeni bilgilerin elde edilmesi, Bayes
teoreminin uygulanması, sonsal olasılıkların
hesaplanmasıdır.

Rassal değişkenler nedir?

Sayısal değerler yardımıyla bir deneydeki olası
sonuçların tanımlanmasında bir araç olarak rassal
değişkenler kullanılır. Dolayısıyla rassal değişkenlerin
sayısal değerler olduğu kabul edilir. Buna göre, bir
deneyin herhangi bir olası sonucunun sayısal değerine
rassal değişken adı verilir. Rassal değişkenler, deneyden
deneye farklı değerler alabilen ve aldığı bu değerleri belli
bir olasılıkla alan değişkenlerdir. Örneğin, bir veterinerin
son bir ay içerisinde tedavi ettiği evcil köpeklerin
ağırlıkları ölçüldüğünde, 8,3 kg, 7,2 kg, 6,8 kg gibi
değerler elde edilebilir. Burada evcil köpeklerin ağırlığı
bir rassal değişkendir.

Kesikli rassal değişkenler nedir?

Sonlu sayıda değer alabilen ya da 0, 1, 2,..., gibi
sonsuz bir sayı dizisi olarak kabul edilen rassal değişkene
kesikli rassal değişken adı verilir. Örneğin “Bir hastanenin
acil servisine son bir ay içinde başvuran hasta sayısı”
rassal değişkenini düşünelim. Bu rassal değişkenin
alabileceği değerler 0, 1, 2,..., gibi bir tamsayılar dizisidir.
Buna göre belirtilen rassal de- ğişken, bu sonsuz sayı
dizisinde yer alan değerlerden birini alacağı için kesikli bir
rassal değişkendir.

Sürekli rassal değişkenler nedir?

Bir sayı aralığı ya da aralıklar kümesi üzerinde
herhangi bir sayısal değer alabilen rassal değişkene sürekli
rassal değişken adı verilir. Zaman, ağırlık, uzaklık ya da hava sıcaklığı gibi ölçülere dayalı deneysel sonuçlar belli
bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabileceği için sürekli
rassal değişkenlerdir. Örneğin X rassal değişkeni; bir
hastanenin röntgen bölümüne sırayla gelen hastalar
arasındaki bekleme süresi olarak tanımlansın. Bu rassal
değişken, ölçüm saatinin hassasiyetine göre 2,39 dk.,
4,361 dk. vb. gibi, x ≥ 0 aralığında sonsuz sayıda olası
değerler alabilir.

Bir rassal değişkenin kesikli mi sürekli mi olduğu nasıl
anlaşılır?

Bir rassal değişkenin kesikli mi yoksa sürekli mi
olduğunun belirlenebilmesi için, bu rassal değişkenin
değerleri bir doğru parçası üzerindeki noktalar olarak
düşünülebilir. Rassal değişkenin alabileceği değerler
arasından rastgele iki nokta seçilir. Bu iki nokta arasındaki
doğru parçası rassal değişkenin alabileceği tüm değerleri
içeriyorsa, incelenen rassal değiş- ken sürekli rassal
değişkendir.

Olasılık fonksiyonu nedir?

Bir rassal değişkenin olasılık dağılımı,
olasılıkların bu rassal değişkenin olası değerleri üzerinde
nasıl dağıldığını tanımlayan bir fonksiyondur. X kesikli
rassal değişkeni için olasılık dağılımına olasılık
fonksiyonu adı verilir ve bu fonksiyon P(x) ile gösterilir.
Olasılık fonksiyonu, rassal değişkenin her bir değeri için
olasılıkların bulunmasında kullanılır.

Beklenen değer nedir?

Ortalama, olasılık dağılımlarının merkezi
eğilimini gösteren tipik bir değerdir ve bir olasılık
dağılımının ortalamasına, o olasılık dağılımının beklenen
değeri adı verilir. Beklenen değer, bir rassal değişkenin
aldığı değerlerin, bu rassal değişkenlere ilişkin
olasılıklarla ağırlıklandırıldığı bir ağırlıklı ortalamadır.
Olasılıklar ağırlıklar olarak alındığında, bir rassal
değişkenin aldığı değerlerin ağırlıklı ortalaması beklenen
değerdir.

Varyans nedir?

Beklenen değer, rassal değişken için ortalama
değeri vermekle birlikte, dağılımın değiş- kenliğini ya da
yayılımını ölçen bir ölçü değildir. Bilindiği gibi, eldeki
veriler için hesaplanan en önemli değişkenlik ölçülerinden
biri varyanstır. Bir rassal değişkenin aldığı değerlerdeki
değişkenliğin belirlenmesinde de varyanstan
yararlanılabilir. Olasılıklar ağırlıklar olarak alındığında,
bir rassal değişkenin kendi ortalamasından karesel
sapmalarının ağırlıklı ortalaması varyanstır

Binom dağılımı nedir?

Binom dağılımı, uygulamalarda çok sık rastlanan
kesikli olasılık dağılımıdır. Dağılımın en önemli özelliği,
aynı koşullarda tekrarlanan deneylerin her tekrarında
yalnızca iki olası sonuç bulunur. Örneğin, tek bir zar atma
deneyinde, zar ya tek sayı ya da çift sayı gelecektir. Atılan
bu zarın sonucu aynı anda hem tek sayı hem de çift sayı
olamayacağına göre, bu iki olası sonuç ayrıktır.

Normal dağılım nedir?

Normal olasılık dağılımı, sürekli rassal
değişkenlerin tanımlanması bakımından en önemli olasılık
dağılımıdır. Normal dağılımın günlük yaşantıda pek çok
farklı alanda uygulaması bulunmaktadır. Örneğin,
insanların uzunluğu, ağırlığı, gıdaların raf ömürleri,
bilimsel ölçüm değerleri, belli bir bölgeye düşen yağış
miktarı vb. gibi sürekli rassal değişkenlerin birçoğunun
olasılık dağılımı normal dağılımdır. Ayrıca normal
dağılım, çıkarımsal istatistikte de yaygın olarak
kullanılmaktadır. Çünkü istatistiksel analiz tekniklerinin
büyük bir kısmı, ana kütle dağılımının normal dağılıma
uyduğu varsayımına dayanmaktadır.

Olasılık değerleri hangi değerler arasında değer alır ve bu değerler ne anlam ifade etmektedir?

Olasılık değerleri, daima 0 ile 1 arasında bir değer alır. Olasılık değerinin 0 olması olayın gerçekleşme şansının bulunmadığını, 1 olması ise olayın kesinlikle gerçekleşeceğini
göstermektedir. 0 ile 1 arasındaki olasılık değerleri, olayın gerçekleşme şansının derecesini temsil eder.

Tek bir zar atılması deneyinde olası sonuçlar nelerdir?

Tek bir zar atılması deneyinde olası sonuçlar 1,2,3,4,5,6 değerleridir. 

“Tek bir bozuk para atılması” deneyinin örneklem uzayı ve örneklem uzayı noktasını belirtiniz.

 “Tek bir bozuk para atılması” deneyini ele alalım. Bu deneyin olası sonuçları (örneklem uzayı noktaları); “yazı” ya da “tura” olacaktır. Bu durumda örneklem
uzayının gösterimi aşağıdaki gibi yapılabilir: S = {Yazı, Tura} Tanımlanan bu deney iki olası sonuçlu (örneklem uzayı noktalı) bir deneydir.

Saymanın temel ilkesini açıklayınız. 

Çok-adımlı deneyler için geliştirilen saymanın temel ilkesi yardımıyla herhangi bir listeleme yapmaya gerek kalmadan deneylerin olası sonuç sayısı belirlenebilir. Bu ilkeye
göre; eğer bir deney, birinci adımında n1 olası sonuç, ikinci adımında n2 olası sonuç, k-inci adımında nk olası sonuç bulunan k adımlı bir deney olarak tanımlanabiliyorsa bu deney için toplam olası sonuç sayısı (n1 ) (n2)... (nk) olarak verilir.

Dört adımdan oluşan bir deneyin birinci adımında 2 farklı olası sonuç, ikinci adımında 3 farklı olası sonuç, üçüncü adımında 4 farklı olası sonuç, dördüncü adımında ise 5 farklı olası sonuç bulunmaktadır. Deneyin tamamı için olası sonuç sayısı kaçtır?

Saymanın temel ilkesine göre bu deney için toplam olası sonuç sayısı: (2)(3)(4) (5) = 120 olur.

Bir spor müsabakasına götürülmek için 6 farklı sporcu arasından 2 tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir?

6! / (2!(6-2)!) = 15 olur. 

Permütasyonun kombinasyon hesabından farklı nedir?

Görüldüğü gibi permütasyon ile kombinasyon birbirleriyle yakından ilişkilidir. Burada, seçilecek nesne sayısı aynı olmasına rağmen yapılabilecek permütasyon sayısı kombinasyon sayısından daha fazladır. Çünkü n sayıda nesnenin her seçimi n! farklı şekilde sıralanabilmektedir. Permütasyonda, sıralanan nesnelerin diziliş sırası önemlidir.

Olasılık hesaplamalarında hangi iki temel kuralın sağlanması zorunludur?

Kullanılan yöntem hangisi olursa olsun, olasılık hesaplamalarında aşağıda belirtilen iki temel kuralın sağlanması zorunludur.
1. Olası her bir deney sonucunun gerçekleşme olasılığı 0 ile 1 (0 ve 1 değerleri dahil) değerleri arasında yer almalıdır. 
2. Olası tüm deney sonuçlarının gerçekleşme olasılıklarının toplamı 1’e eşit olmalıdır. 

Olasılık hesaplamada kullanılan yöntemleri açıklayınız. 

Olasılık hesaplamada klasik yöntem, deneyin olası tüm sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu durumlarda geçerli bir yöntemdir. Buna göre, bir deneyde olası sonuç sayısı n ise,
her bir olası sonucun gerçekleşme olasılığı 1/n oranı ile belirlenir. Bu yaklaşım kullanılırken, yukarıda belirtilen olasılık hesaplamalarında sağlanması gereken iki temel kural
kendiliğinden sağlanır.

Olasılık hesaplamada kullanılan ikinci yöntem olan göreli frekans yöntemi, deney çok fazla sayıda tekrar ediliyorsa, eldeki verilerin olası sonucun gerçekleşme oranını tahmin
etmeye elverişli olduğu durumlarda kullanılan bir yöntemdir. Olasılık hesaplama yöntemleri arasında deneysel bir yaklaşım olarak kabul gören göreli frekans yöntemine göre
bir olayın gerçekleşme olasılığı, bu olayın uzun dönemde gerçekleşme oranına eşittir.

Olasılık hesaplamada kullanılabilecek üçüncü yöntem olan öznel ya da subjektif yöntem, olası sonuçların eşit olasılıklı olarak varsayılamadığı ve elde çok fazla veri bulunmadığı durumlarda başvurulan bir yöntemdir.

Bir deneyin tekrarlanmasının güç olduğu durumlarda olasılık hesaplamak üzere hangi yöntem kullanılır?

Bir deneyin tekrarlanmasının güç olduğu durumlarda olasılık hesaplamak üzere öznel yöntem kullanılır. Olası sonuçların olasılıklarının belirlenmesinde öznel yöntem kullanıldığında, genellikle duruma ilişkin kişisel sezgiler ya da önceki tecrübeler gibi eldeki herhangi bir bilgiye başvurulabilir.

Öznel ya da sübjektif olasılık neyi belirtir?

Öznel ya da sübjektif olasılık, bir olayın gerçekleşip gerçekleşmemesine ilişkin olarak bir kimsenin yürüttüğü tahminin derecesini belirtir. Bu yöntemde belirlenen olasılık kişiye göre değiştiği için, farklı kişiler aynı olası sonuca ilişkin olarak farklı olasılıklar belirleyebilirler. Öznel yöntemde olasılığın iki temel kuralı olarak verilen koşulların sağlanması için daha çok dikkat edilmesi gerekir.

Olayın tümleyeni ne demektir?

Verilen bir A olayının tümleyeni, örneklem uzayında A olayının dışında kalan tüm örneklem uzayı noktalarını içeren olay olarak tanımlanır ve A' olayının tümleyeni ile gösterilir.

Ayrık olaylar ne demektir?

Örneklem uzayında yer alan herhangi iki olayın ortak örneklem uzayı noktası bulunmuyor ise bu olaylara ayrık olaylar adı verilir.

“|” gösterimi ne anlama gelmektedir?

“|” gösterimi, herhangi bir olayının gerçekleşme koşulu altında bir diğer olayın koşullu olasılığını belirtmede kullanılır.

Bağımsız olaylar ne demektir?

Örneklem uzayında yer alan A ve B gibi herhangi iki olay için bu olaylardan herhangi birinin gerçekleştiğinin bilinmesi, diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyor ise bu
iki olaya bağımsız olaylar adı verilir.

Zaman, ağırlık, uzaklık ya da hava sıcaklığı aldığı değerler açısından hangi değişkene örnektir?

Zaman, ağırlık, uzaklık ya da hava sıcaklığı gibi ölçülere dayalı deneysel sonuçlar belli bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabileceği için sürekli rassal değişkenlerdir.

Bir rassal değişkenin değerlerini bir doğru parçası üzerindeki noktalar olarak düşünürsek,   kesikli mi yoksa sürekli mi olduğunu nasıl belirleriz?

Bir rassal değişkenin kesikli mi yoksa sürekli mi olduğunun belirlenebilmesi için, bu rassal değişkenin değerleri bir doğru parçası üzerindeki noktalar olarak düşünülebilir. Rassal
değişkenin alabileceği değerler arasından rastgele iki nokta seçilir. Bu iki nokta arasındaki doğru parçası rassal değişkenin alabileceği tüm değerleri içeriyorsa, incelenen rassal değişken sürekli rassal değişkendir.

Rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarının tanımlanmasının en önemli katkısı nedir?

Rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarının tanımlanmasının en önemli getirisi, olasılık dağılımı bilindiğinde karar vericilerin ilgilendiği farklı olay çeşitlerine ilişkin olasılıkların belirlenmesi nispeten kolaylaşmaktadır.

Beklenen Değer ne demektir?

Ortalama, olasılık dağılımlarının merkezi eğilimini gösteren tipik bir değerdir ve bir olasılık dağılımının ortalamasına, o olasılık dağılımının beklenen değeri adı verilir. Beklenen değer, bir rassal değişkenin aldığı değerlerin, bu rassal değişkenlere ilişkin olasılıklarla ağırlıklandırıldığı bir ağırlıklı ortalamadır.

Rassal değişkenlerin değişkenlik ölçüsü olarak çoğunlukla standart sapma tercih edilmesinin sebebi nedir?

Varyansın pozitif karekökü standart sapma olarak adlandırılır ve ? ile gösterilir. Bilindiği gibi standart sapmanın ölçüldüğü birim, rassal değişkenin ölçüldüğü birimin aynısıdır.
Bu nedenle de rassal değişkenlerin değişkenlik ölçüsü olarak çoğunlukla standart sapma tercih edilir.

Binom deneyinin özellikleri nelerdir?

Binom deneyi aşağıda verilen özellikleri göstermektedir:
1. Deneyler, daima aynı koşullarda gerçekleştirilen n sayıda tekrardan oluşur.
2. Yapılacak her denemenin sonunda, olası iki sonuçtan yalnızca biri gerçekleşir. Bu
sonuçlardan birisi ilgilenilen sonuç, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen sonuç olarak adlandırılır.
3. P ile gösterilen ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığı, tüm denemelerde aynı
kalır. Dolayısıyla 1-P ile gösterilen ilgilenilmeyen sonucun gerçekleşme olasılığı da
denemeden denemeye değişmeyen sabit bir değerdir.
4. Denemeler birbirinden bağımsızdır. Bir diğer deyişle, bir denemenin sonucu diğer
bir denemenin sonucunu olumlu ya da olumsuz bir şekilde etkilememektedir.

Normal dağılımın özellikleri nelerdir?

Normal dağılımın çeşitli özellikleri aşağıdaki gibi verilebilir:

• Normal dağılımda, ilki aritmetik ortalama µ ve ikincisi standart sapma ? olmak üzere iki adet bilinmeyen parametre bulunur.
• Normal dağılımın aritmetik ortalama, mod ve medyan değeri, dağılım eğrisinin en yüksek noktasına karşılık gelen rassal değişken değerleridir.
• Dağılımın aritmetik ortalaması, negatif, sıfır ya da pozitif değerler alabilir.
• Normal dağılım eğrisi, aritmetik ortalama, mod ve medyan değerlerine göre simetrik bir görünümdedir. Dağılım eğrisi, merkez değerinden her iki yöne doğru
• düzgün bir şekilde azalır. Eğrinin kuyrukları yatay eksene gittikçe yaklaşır, ancak
  teorik olarak hiçbir zaman yatay eksenle kesişmez. Eğri simetrik olduğundan, dağılımın çarpıklık ölçüsü sıfıra eşittir.