Sembolik Mantık Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Yüklem Ve Niceleyiciler

1. Soru

Nicelemeli önermeler nedir?

Cevap

İçinde her ve bazı ifadelerini veya bu ifadelerin eşanlamlılarını barındıran önermeler nicelemeli önermelerdir.


2. Soru

Önermeler mantığında bir ifade ile onun değili arasındaki ilişkileri açıklayınız.

Cevap

A önermesi ile bu önermenin değili olan ~A önermesi arasındaki ilişki şudur: A doğru ise ~A yanlış, A yanlış ise ~A doğrudur. Değilleme kuralları diyebileceğimiz bu kurallar her A önermesi için geçerlidir. Dolayısıyla A nicelemeli bir önerme olduğunda bu kuralların sağlanması gerekir.


3. Soru

Her F G’dir önermesinin değili nedir?

Cevap

Bazı F G değildir.


4. Soru

Niceleyici kavramını ve gündelik dildeki niceleme önermelerini açıklayınız.

Cevap

Niceleme mantığında iki niceleyici temel olarak kabul edilir: Her kelimesiyle ifade edilen tümelniceleyici ve bazı kelimesiyle ifade edilen tikelniceleyici. Bu niceleyiciler farklı biçimlerde de ifade edilebilir. Gündelik dilde en basit nicelemeli önermeler Her şey F dir, Her F G’dir, Bazı şeyler F’dir, Bazı F G’dir biçimindeki önermelerdir. Daha karmaşık nicelemeli önermeler elde etmek için, bir önermede niceleyici ifadeleri birlikte kullanabilir ya da, bir niceleyici ifadeyi birden çok kez uygulayabiliriz. Ayrıca nicelemeli önermeleri önerme eklemleri ile birleştirebilir veya önerme eklemleri içeren bileşik önermelere niceleyici ifadeleri uygulayabiliriz. Her F G dir önermesinin değili Bazı F G değildir önermesidir. Bazı F G’dir önermesinin değili ise, Hiçbir F G değildir önermesidir. Nicelemeli önermelerin değillenmesinde değilleme kurallarına uyulmalıdır: Bir önerme doğru ise değili yanlış, bir önerme yanlış ise değili doğru olmalıdır. Önerme eklemleri mantığı niceleyici ifadeler içeren çoğu gündelik dil çıkarımını doğru biçimde değerlendirmekte yetersiz kaldığından, bu çıkarımları değerlendirmek için niceleme mantığı geliştirilmiştir.


5. Soru

Niceleme mantığı nedir?

Cevap

Niceleme mantığı, önermelerin özne-yüklem yapısını ve her, bütün, bazı, kimi gibi ifadeleri ele alan mantık sistemidir.


6. Soru

Niceleme mantığının önemi nedir?

Cevap

Önermeler mantığı ile sezgisel olarak apaçık geçerli kimi çıkarımların biçimsel geçerliliğini ortaya koyamayız. Tüm, bazı ifadelerini ve özne yüklem yapısını ortaya koyan bir mantık sistemi olan niceleme mantığı bu nedenle önemlidir.


7. Soru

Niceleme mantığının terimleri nasıl tanımlanır?

Cevap

• Her bir birey değişkeni bir terimdir. • Her bir ad sembolü bir terimdir. • Başka hiçbir sembol dizisi bir terim değildir.


8. Soru

Basit formül nedir?

Cevap

Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller basit formül, atomik formül ya da atom, bunun dışındaki formüller bileşik formül olarak adlandırılır.


9. Soru

Bir nicelememenin bir formüldeki etki alanı nedir?

Cevap

Bir nicelemenin bir formüldeki etki alanı, o nicelemeyi izleyen formüldür.


10. Soru

Kapalı formül veya önerme nedir?

Cevap

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir kapalı formül veya önermedir.


11. Soru

Açık formül nedir?

Cevap

En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül açık formül olarak adlandırılır.


12. Soru

tümel niceleyicinin tanımı nedir?

Cevap

Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her” kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Her insan ölümlüdür.
Tüm insanlar ölümlüdür.
Bütün insanlar ölümlüdür.


13. Soru

Tikel-niceleyici için örneklendirme yapınız

Cevap

“Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikel-niceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler: Bazı insanlar filozoftur. Kimi insanlar filozoftur. En az bir insan filozoftur.


14. Soru

Tümel-nicelemeli önermelerin değillenmesi konusunu tartışınız.

Cevap

“Her F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesidir. “Her F G dir” önermesi doğru ise F olup G olmayan bir şey olamaz. Dolayısıyla, “Bazı F G değildir” önermesi yanlış olur. “Her F G dir” önermesi yanlış ise, F olan bazı şeyler G değildir ve “Bazı F G değildir” önermesi doğru olur. “Her F G dir” önermesinin dilbilgisi bakımından değili olan “Her F G değildir” önermesi “Her F G-olmayandır” yani “Hiçbir F G değildir” anlamında yorumlanabileceğine dikkat edilmelidir. Oysa “Her F G dir” önermesinin değili “Hiçbir F G değildir” olamaz. Çünkü bu iki önerme de aynı anda yanlış olabilir.


15. Soru

Tümel-nicelemeli önermelerin değillenmesi konusuna örnek veriniz

Cevap

Örneğin, hem “Her insan filozoftur” önermesi hem de “Hiçbir insan filozof değildir” önermesi yanlıştır. Bu iki önermenin birbirinin değili kabul edilmesi değilleme kurallarına aykırıdır: A ve ~A önermelerinin ikisi birden yanlış olamaz, biri yanlış ise diğeri doğru olmalıdır. 


16. Soru

tikel-nicelemeli önermelerin değillenmesini tartışınız

Cevap

“Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi değil, “Hiçbir F G değildir” önermesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Çoğu durumda, hem “Bazı F G dir” önermesi hem de “Bazı F G değildir” önermesi birlikte doğrudur. Örneğin, hem “Bazı insanlar filozoftur” önermesi hem de “Bazı insanlar filozof değildir” önermeleri doğrudur. Buna göre, “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi olamaz çünkü değilleme kuralları gereği A ve ~A önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz.


17. Soru

Bir sembolik dilin belirlenmesi için nasıl bir yol izlenmelidir? 

Cevap

Bir sembolik dilin belirlenmesi için, öncelikle bu dilde kullanacağımız sembolleri belirtmeli, ardından da, bu sembolleri düzgün ifadeleri oluşturmak için hangi şekillerde bir araya getirebileceğimizi tanımlamalıyız.


18. Soru

Niceleme mantığının sembolik dili hangi sembolleri içerir?

Cevap

Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:

(a) Önerme eklemleri: ~, ?, ?, ›, -

(b) Birey değişkenleri: x, y, z, ...

(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...

(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...

(e) Tümel-niceleyici: 6 (“her” olarak okunur) Tikel-niceleyici: 7 (“bazı” olarak okunur)

(f) Parantezler: (, ).


19. Soru

Niceleme mantığının terimleri ne şekilde tanımlanır?

Cevap

Niceleme mantığının terimleri şu şekilde tanımlanabilir: (a) Her bir birey değişkeni bir terimdir. (b) Her bir ad sembolü bir terimdir. (c) Başka hiçbir sembol dizisi bir terim değildir.


20. Soru

Niceleme mantığının formüllerini tanımlayınız

Cevap

Niceleme mantığının formülleri şu şekilde tanımlanabilir: (a) t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir formüldür, (b) A bir formül ise ~A bir formüldür, (c) A ve B birer formül ise, (A ? B), (A ? B), (A › B) ve (A - B) birer formüldür. (d) ? bir değişken A bir formül ise, 6 ? A ve 7 ? A birer formüldür, (e) Başka hiçbir sembol dizisi bir formül değildir. Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller “basit formül”, “atomik formül” ya da “atom”, bunun dışındaki formüller “bileşik formül” olarak adlandırılır.


21. Soru

Birey değişkenlerini sembolik mantık açısından tartışınız

Cevap

Birey değişkenleri gündelik dildeki “bu”, “şu” gibi zamirlerin sembolik dildeki karşılığıdır. Aynen “bu” zamirinin hangi varlığa işaret ettiğinin kullanıldığı duruma göre değişmesi gibi, birey değişkenleri de, belirli bir varlığa işaret etmezler ancak bir birey değişkeni yerine belli bir varlığa işaret eden bir sembol konabilir. Bu anlamda birey değişkenlerini birer “yer tutucu” olarak kabul edebiliriz. Belirli bir varlık hakkında konuşmak istediğimizde, bu değişkenler yerlerini hakkında konuşmak istediğimiz varlığa ait ad sembolüne bırakırlar.


22. Soru

7y (Gy ? Hz) önermesinde 7y nicelemesinin etki alanını açıklayınız

Cevap

7y (Gy ? Hz) önermesinde 7y nicelemesinin etki alanı (Gy ? Hz) formülüdür. 7y nicelemesinin (7y Gy ? Hz) formülündeki etki alanı ise Gy formülüdür.


23. Soru

7y (Gx ? 6z Hz) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanını açıklayınız.

Cevap

7y (Gx ? 6z Hz) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanı (Gx ? 6z Hz) formülüdür. Bu formülde 6z tümel-nicelemesinin etki alanı ise Hz formülüdür.


24. Soru

(7y (Gy ? 6z Hz) - 7x Gx) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanını açıklayınız.

Cevap

(7y (Gy ? 6z Hz) - 7x Gx) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanı (Gy ? 6z Hz) formülü, 6z tümel-nicelemesinin etki alanı Hz formülü, 7x tikel-nicelemesinin etki alanı ise Gx formülüdür.


25. Soru

Sembolik mantıkta değişkenin bağlı geçişini açıklayınız

Cevap

Bir v değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir 6v veya 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, v değişkeninin bu geçişi ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, 6v ve 7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan v değişken geçişleri bağlıdır


26. Soru

“Bazı arabalar kırmızı değildir” önermesinin değili nedir?

Cevap

Tüm arabalar kırmızıdır


27. Soru

“Hiçbir insan yeşil değildir.” önermesinin değili nedir?

Cevap

Bazı insanlar yeşildir


28. Soru

7y (Gx ? 6z (Hy - Gz)) formülünde hangi değişkenlerin en az bir serbest geçişi vardır?

Cevap

Sadece x


29. Soru

7y (Gx ? 6x Hx) formülünde geçişleri açıklayınız

Cevap

x değişkeninin altı çizili olan ilk geçişi hiçbir 6x veya 7x nicelemesinin etki alanında olmadığından, 7y nicelemesinin etki alanında olmasına rağmen, serbesttir. x değişkeninin diğer tüm geçişleri ise 6x nicelemesinin etki alanında olduğundan bağlıdır.


30. Soru

Sembolik mantıkta geçişleri açıklayınız

Cevap

Bir v değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir 6v veya 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, v değişkeninin bu geçişi ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, 6v ve 7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan v değişken geçişleri bağlıdır.


31. Soru

Açık ve kapalı formüllerin tanımını yapınız.

Cevap

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir “kapalı formül” veya “önerme”dir. En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül ise “açık formül” olarak adlandırılır.


Bahar Dönemi Dönem Sonu Sınavı
25 Mayıs 2024 Cumartesi