Sembolik Mantık Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Nicelemeli önermeler nedir?

İçinde her ve bazı ifadelerini veya bu ifadelerin eşanlamlılarını barındıran önermeler nicelemeli önermelerdir.

Önermeler mantığında bir ifade ile onun değili arasındaki ilişkileri açıklayınız.

A önermesi ile bu önermenin değili olan ~A önermesi arasındaki ilişki şudur: A doğru ise ~A yanlış, A yanlış ise ~A doğrudur. Değilleme kuralları diyebileceğimiz bu kurallar her A önermesi için geçerlidir. Dolayısıyla A nicelemeli bir önerme olduğunda bu kuralların sağlanması gerekir.

Her F G’dir önermesinin değili nedir?

Bazı F G değildir.

Niceleyici kavramını ve gündelik dildeki niceleme önermelerini açıklayınız.

Niceleme mantığında iki niceleyici temel olarak kabul edilir: Her kelimesiyle ifade edilen tümelniceleyici ve bazı kelimesiyle ifade edilen tikelniceleyici. Bu niceleyiciler farklı biçimlerde de ifade edilebilir. Gündelik dilde en basit nicelemeli önermeler Her şey F dir, Her F G’dir, Bazı şeyler F’dir, Bazı F G’dir biçimindeki önermelerdir. Daha karmaşık nicelemeli önermeler elde etmek için, bir önermede niceleyici ifadeleri birlikte kullanabilir ya da, bir niceleyici ifadeyi birden çok kez uygulayabiliriz. Ayrıca nicelemeli önermeleri önerme eklemleri ile birleştirebilir veya önerme eklemleri içeren bileşik önermelere niceleyici ifadeleri uygulayabiliriz. Her F G dir önermesinin değili Bazı F G değildir önermesidir. Bazı F G’dir önermesinin değili ise, Hiçbir F G değildir önermesidir. Nicelemeli önermelerin değillenmesinde değilleme kurallarına uyulmalıdır: Bir önerme doğru ise değili yanlış, bir önerme yanlış ise değili doğru olmalıdır. Önerme eklemleri mantığı niceleyici ifadeler içeren çoğu gündelik dil çıkarımını doğru biçimde değerlendirmekte yetersiz kaldığından, bu çıkarımları değerlendirmek için niceleme mantığı geliştirilmiştir.

Niceleme mantığı nedir?

Niceleme mantığı, önermelerin özne-yüklem yapısını ve her, bütün, bazı, kimi gibi ifadeleri ele alan mantık sistemidir.

Niceleme mantığının önemi nedir?

Önermeler mantığı ile sezgisel olarak apaçık geçerli kimi çıkarımların biçimsel geçerliliğini ortaya koyamayız. Tüm, bazı ifadelerini ve özne yüklem yapısını ortaya koyan bir mantık sistemi olan niceleme mantığı bu nedenle önemlidir.

Niceleme mantığının terimleri nasıl tanımlanır?

• Her bir birey değişkeni bir terimdir. • Her bir ad sembolü bir terimdir. • Başka hiçbir sembol dizisi bir terim değildir.

Basit formül nedir?

Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller basit formül, atomik formül ya da atom, bunun dışındaki formüller bileşik formül olarak adlandırılır.

Bir nicelememenin bir formüldeki etki alanı nedir?

Bir nicelemenin bir formüldeki etki alanı, o nicelemeyi izleyen formüldür.

Kapalı formül veya önerme nedir?

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir kapalı formül veya önermedir.

Açık formül nedir?

En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül açık formül olarak adlandırılır.

tümel niceleyicinin tanımı nedir?

Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her” kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Her insan ölümlüdür.
Tüm insanlar ölümlüdür.
Bütün insanlar ölümlüdür.

Tikel-niceleyici için örneklendirme yapınız

“Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikel-niceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler: Bazı insanlar filozoftur. Kimi insanlar filozoftur. En az bir insan filozoftur.

Tümel-nicelemeli önermelerin değillenmesi konusunu tartışınız.

“Her F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesidir. “Her F G dir” önermesi doğru ise F olup G olmayan bir şey olamaz. Dolayısıyla, “Bazı F G değildir” önermesi yanlış olur. “Her F G dir” önermesi yanlış ise, F olan bazı şeyler G değildir ve “Bazı F G değildir” önermesi doğru olur. “Her F G dir” önermesinin dilbilgisi bakımından değili olan “Her F G değildir” önermesi “Her F G-olmayandır” yani “Hiçbir F G değildir” anlamında yorumlanabileceğine dikkat edilmelidir. Oysa “Her F G dir” önermesinin değili “Hiçbir F G değildir” olamaz. Çünkü bu iki önerme de aynı anda yanlış olabilir.

Tümel-nicelemeli önermelerin değillenmesi konusuna örnek veriniz

Örneğin, hem “Her insan filozoftur” önermesi hem de “Hiçbir insan filozof değildir” önermesi yanlıştır. Bu iki önermenin birbirinin değili kabul edilmesi değilleme kurallarına aykırıdır: A ve ~A önermelerinin ikisi birden yanlış olamaz, biri yanlış ise diğeri doğru olmalıdır. 

tikel-nicelemeli önermelerin değillenmesini tartışınız

“Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi değil, “Hiçbir F G değildir” önermesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Çoğu durumda, hem “Bazı F G dir” önermesi hem de “Bazı F G değildir” önermesi birlikte doğrudur. Örneğin, hem “Bazı insanlar filozoftur” önermesi hem de “Bazı insanlar filozof değildir” önermeleri doğrudur. Buna göre, “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi olamaz çünkü değilleme kuralları gereği A ve ~A önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz.

Bir sembolik dilin belirlenmesi için nasıl bir yol izlenmelidir? 

Bir sembolik dilin belirlenmesi için, öncelikle bu dilde kullanacağımız sembolleri belirtmeli, ardından da, bu sembolleri düzgün ifadeleri oluşturmak için hangi şekillerde bir araya getirebileceğimizi tanımlamalıyız.

Niceleme mantığının sembolik dili hangi sembolleri içerir?

Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:

(a) Önerme eklemleri: ~, ?, ?, ›, -

(b) Birey değişkenleri: x, y, z, ...

(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...

(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...

(e) Tümel-niceleyici: 6 (“her” olarak okunur) Tikel-niceleyici: 7 (“bazı” olarak okunur)

(f) Parantezler: (, ).

Niceleme mantığının terimleri ne şekilde tanımlanır?

Niceleme mantığının terimleri şu şekilde tanımlanabilir: (a) Her bir birey değişkeni bir terimdir. (b) Her bir ad sembolü bir terimdir. (c) Başka hiçbir sembol dizisi bir terim değildir.

Niceleme mantığının formüllerini tanımlayınız

Niceleme mantığının formülleri şu şekilde tanımlanabilir: (a) t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir formüldür, (b) A bir formül ise ~A bir formüldür, (c) A ve B birer formül ise, (A ? B), (A ? B), (A › B) ve (A - B) birer formüldür. (d) ? bir değişken A bir formül ise, 6 ? A ve 7 ? A birer formüldür, (e) Başka hiçbir sembol dizisi bir formül değildir. Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller “basit formül”, “atomik formül” ya da “atom”, bunun dışındaki formüller “bileşik formül” olarak adlandırılır.

Birey değişkenlerini sembolik mantık açısından tartışınız

Birey değişkenleri gündelik dildeki “bu”, “şu” gibi zamirlerin sembolik dildeki karşılığıdır. Aynen “bu” zamirinin hangi varlığa işaret ettiğinin kullanıldığı duruma göre değişmesi gibi, birey değişkenleri de, belirli bir varlığa işaret etmezler ancak bir birey değişkeni yerine belli bir varlığa işaret eden bir sembol konabilir. Bu anlamda birey değişkenlerini birer “yer tutucu” olarak kabul edebiliriz. Belirli bir varlık hakkında konuşmak istediğimizde, bu değişkenler yerlerini hakkında konuşmak istediğimiz varlığa ait ad sembolüne bırakırlar.

7y (Gy ? Hz) önermesinde 7y nicelemesinin etki alanını açıklayınız

7y (Gy ? Hz) önermesinde 7y nicelemesinin etki alanı (Gy ? Hz) formülüdür. 7y nicelemesinin (7y Gy ? Hz) formülündeki etki alanı ise Gy formülüdür.

7y (Gx ? 6z Hz) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanını açıklayınız.

7y (Gx ? 6z Hz) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanı (Gx ? 6z Hz) formülüdür. Bu formülde 6z tümel-nicelemesinin etki alanı ise Hz formülüdür.

(7y (Gy ? 6z Hz) - 7x Gx) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanını açıklayınız.

(7y (Gy ? 6z Hz) - 7x Gx) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanı (Gy ? 6z Hz) formülü, 6z tümel-nicelemesinin etki alanı Hz formülü, 7x tikel-nicelemesinin etki alanı ise Gx formülüdür.

Sembolik mantıkta değişkenin bağlı geçişini açıklayınız

Bir v değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir 6v veya 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, v değişkeninin bu geçişi ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, 6v ve 7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan v değişken geçişleri bağlıdır

“Bazı arabalar kırmızı değildir” önermesinin değili nedir?

Tüm arabalar kırmızıdır

“Hiçbir insan yeşil değildir.” önermesinin değili nedir?

Bazı insanlar yeşildir

7y (Gx ? 6z (Hy - Gz)) formülünde hangi değişkenlerin en az bir serbest geçişi vardır?

Sadece x

7y (Gx ? 6x Hx) formülünde geçişleri açıklayınız

x değişkeninin altı çizili olan ilk geçişi hiçbir 6x veya 7x nicelemesinin etki alanında olmadığından, 7y nicelemesinin etki alanında olmasına rağmen, serbesttir. x değişkeninin diğer tüm geçişleri ise 6x nicelemesinin etki alanında olduğundan bağlıdır.

Sembolik mantıkta geçişleri açıklayınız

Bir v değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir 6v veya 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, v değişkeninin bu geçişi ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, 6v ve 7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan v değişken geçişleri bağlıdır.

Açık ve kapalı formüllerin tanımını yapınız.

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir “kapalı formül” veya “önerme”dir. En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül ise “açık formül” olarak adlandırılır.