Matematik 2 Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim

Asal Sayılar Ve Modüler Aritmetik

1. Soru

100'den küçük en büyük asal sayı kaçtır?

Cevap

97


2. Soru

Bir bilinmeyenli doğrusal denkliklerin her zaman çözümü olur mu?

Cevap

Bir bilinmeyenli bir doğrusal denkliğin çözümünün olması için gerek ve yeter koşul ebob(a,n) sayısının b sayısını bölmesidir. Denkliklerin her zaman çözümü yoktur. Örneğin 3x=5(mod6) denkliğini sağlayan hiçbir x tamsayısı yoktur.


3. Soru

Hem asal hem de çift olan bir sayı var mıdır?

Cevap

Evet vardır. 2 hem asal, hem çift sayıdır.


4. Soru

En küçük ortak kat kavramını tanımlayınız.

Cevap

“a” ve “b” gibi iki doğal sayıdan her ikisine de bölünen doğal sayıların en küçük olanına, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve ekok(a,b) ¸seklinde gösterilir.


5. Soru

Asal sayıyı tanımlayınız.

Cevap

1'den büyük ve sadece kendisine ve bire bölünebilen sayılara asal sayı denir.


6. Soru

Asal olmayan sayılara ne ad verilir?

Cevap

Asal olmayan sayılara "bileşik sayılar" denir.


7. Soru

Kaç tane asal sayı vardır?

Cevap

Sonsuz tane asal sayı vardır. M.Ö. 300 civarında, Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamıştır.


8. Soru

12 bin ve 3 milyon sayıları mod9'a göre denk midir?

Cevap

Evet. 12000=3(mod9) ve 3000000=3(mod9) olduğundan bu sayılar denktir.


9. Soru

Denklikler toplama, çarpma ve çıkarma işlemleri altında korunur mu?

Cevap

Evet korunur. Yani a b'ye denk ise a*c de b*c'ye denk olur. Aynı şekilde a+c de b+c'ye denk olur.


10. Soru

Verilen bir tam sayıyı bölen asal sayıya ne ad verilir?

Cevap

Asal bölen.


11. Soru

İki sayının bir modüle göre denk olması için koşul nedir?

Cevap

“a” ve “b” tam sayıları, sıfırdan farklı pozitif bir n tam sayısı tarafından bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa bu sayılara n modülüne göre denktir ya da kısaca mod(n)’ye göre denktir deriz.


12. Soru

Aritmetiğin temel teoremi nedir?

Cevap

Her n>1 doğal sayısı asal sayıların çarpımı ¸seklinde sıra değişikliği hariç tek türlü yazılabilir.


13. Soru

En büyük ortak bölen kavramını tanımlayınız.

Cevap

“a” ve “b” gibi iki doğal sayıdan her ikisini de bölen doğal sayıların en büyük olanına, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve ebob(a,b) ¸seklinde gösterilir.


14. Soru

İki sayının aralarında asal olması için koşul nedir?

Cevap

En büyük ortak bölenlerinin 1 olması gerekir.


15. Soru

Eratosthenes kalburu nedir, ne işe yarar, bir örnekle anlatınız?

Cevap

Eratosthenes kalburu asal sayıları bulmaya yarar. Örneğin 1 ile 100 arasındaki asal sayıları bulmak istediğimizi düşünelim. İlk olarak 1’den 100’e kadar olan tüm sayıları bir tablo şeklinde yazalım. Sonra 2’nin katlarını eleyelim. Geriye kalan sayılardan ilki 3 olup, 3’ün katlarını eleyelim. Daha sonra geriye kalan ilk sayı 5 olup, 5’in katlarını eleyelim. Bu şekilde devam edersek, geriye kalan sayıların aradığımız asal sayılar olduğunu görürüz. Bu metoda eski Yunan Matematikçisi Eratosthenes tarafından bulunduğu için, Eratosthenes kalburu denir.


16. Soru

42 ile 87'nin çarpımının 8'le bölümünden kalan kaçtır? Modüler aritmetik kullanarak hesaplayınız.

Cevap

42'nin 8'e bölümünden kalan 2, 87'nin 8'e bölümünden kalan 7 olduğuna göre 2*7=14=6(mod8). Cevap 6'dır.


17. Soru

Her ikisi de asal olmayan iki sayı aralarında asal olabilir mi?

Cevap

Hayır olamaz. Sayılardan en az birinin asal olması gerekir.


18. Soru

Bir sayının asal olup olmadığını bulmanın başka bir yöntemi var  mıdır?

Cevap

Evet. Eğer “n” tam sayısı bir bileşik sayı ise n=a·b formunda yazılabilir. Burada 1<a?b<n olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda a*a?a*b=n olup, buradan a?kök(n)elde ederiz. Bu nedenle n sayısının kök(n)’i geçmeyen bir böleni, hatta bir asal böleni vardır.


19. Soru

Asal sayıların en önemli kullanım alanı nedir?

Cevap

Şifreleme ve veri güvenliği.


20. Soru

Bugün Pazartesi ise 29 gün sonra hangi gün olur?

Cevap

Salı. 29 sayısını mod 7 cinsinden yazarsak 29=1(mod7) olur. Bu da bugüne 1 gün eklememiz gerektiği anlamına gelir.


Kayıt Yenileme (Ders Ekle Sil)
7 Şubat 2022 Pazartesi