Genel Matematik Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim

15 TL ile 3 gömlek ve 2 pantolon, 23 TL ile 2 gömlek ve 5 pantolon alınabilmektedir. Bu durumu veren doğrusal denklem sistemini yazınız?

x ile 1 tane gömleğin fiyatını, y ile 1 tane pantolonun fiyatını gösterelim. O halde 15 TL 3 gömlek ve 2 pantolon alınıyorsa buradan,

3x +2y = 15

elde edilir. Benzer şekilde 23 TL ile 2 gömlek ve 5 pantolon alınıyorsa,

2x +5y = 23

elde edilir.

Bu verilerden elde edilen doğrusal denklem sistemi ise,

2x + 2y =15

2x + 5y = 23

olarak bulunur.

2 tane elma ve 7 tane şeftalideki karbonhidrat 1024gr/ml ve 3 elma ile 3 şeftalideki karbonhidrat 987gr/ml olduğuna göre bu durumu veren doğrusal denklem sistemini yazınız?

x ile 1 tane elmadaki karbonhidratı y ile 1 tane şeftalideki karbonhidratı gösterelim. Bu durumda 1024, 2 tane elma ve 7 tane şeftalideki toplam karbonhidrat olduğuna göre,

2x + 7y = 1024 

elde edilir.

Elde edilen verilerden,

2x +7y = 1024

3x + 3y = 987

doğrusal denklem sistemine ulaşılır.

1 metre bakır tel ile 3 metre gümüş telin fiyatı 14 TL, yarım metre bakır tel ile 4 metre gümüş telin fiyatı 18 TL olduğuna göre bu durumu veren doğrusal denklem sistemini yazınız?

x ile 1 metre bakır telin fiyatını y le 1 metre gümüş telin fiyatını gösterelim. Bu durumda 1 metre bakır tel ve 3 metre gümüş tel 14 TL olduğuna göre,

x + 3y = 14

Daha sonra yarım metre bakır telin ve 4 metre gümüş telin fiyatı 18 TL ise,

1/2 x + 4y = 18

doğrusal denklem elde edilir.

Yukardaki ifadeyi 2 le çarpıp düzenlersek,

x + 8y = 36

elde edilir.

Elde edilen verilerde,

x + 3y = 14

x + 8y = 36

doğrusal denklem sistemine ulaşılır.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözünüz.

2x + 16y = 12

x - 4y = -6

İkinci denklemden x’i çekersek,

x = 4y − 6

elde edilir.

Bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa,

24y − 6 + 16y = 12

24y − 12 = 12

24y = 24

y = 1

elde edilir.

x = 4y − 6 denkleminde y değerini yerine yazarsak,

x = −2 olarak bulunur.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözünüz.

3x − 7y = 29

2x + 6y = −2

İkinci denklemi -3/2 ile çarpıp birinci denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

3x − 7y = 29

−3x − 9y = 3

Yani, −16y = 32 ve buradan, y = −2 elde edilir.

İkinci denklemde y = −2 alınırsa,

2x + 6y = −2

2x + 6. −2 = −2 olur.

Buradan,

2x = 10

x = 5

elde edilir.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözünüz.

2x − y = 8

5x + 3y = 9

Birinci denklemden y’yi çekersek,

y = 2x − 8

elde edilir.

Bu değer ikinci denklemde yerine yazılırsa,

5x + 3y = 9

5x + 3. 2x − 8 = 9

11x = 33

x = 3

elde edilir.

y = 2x − 8 denkleminde x değerini yerine yazarsak,

y = −2 elde edilir.elde edilir.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözünüz.

2x + 4y = 24

11x − 8y = 12

Cevap: Birinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklem ile

ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

4x + 8y = 48

11x − 8y = 12

Yani, 15x = 60 ve buradan, x = 4 elde edilir.

Birinci denklemde x = 4 alınırsa,

2x + 4y = 24

2.4 + 4y = 24

4y = 16

y = 4

elde edilir.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözünüz.

3x + 4y = 5

4x − 3y = 4

İkinci denklemden x’i çekersek,

x = 4 + 3y / 4

elde edilir.

Bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa,

3x + 4y = 5

3.( (4 + 3y) /4) + 4y = 5

12 + 25y = 20

25y = 8

y = 8/25

elde edilir.

y değerini,

x = ((4 + 3y)/4)

denkleminde yerine yazarsak,

x = 124/100

elde edilir.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözünüz.

11x − 4y = 5

2x + y = 1

İkinci denklemi 4 ile çarpıp birinci denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

11x − 4y = 5

8x + 4y = 5

Yani, 19x = 10 ve buradan, x = 10/19 elde edilir.

İkinci denklemde x = 10/19 alınırsa,

2x + y = 1

2.(10 / 19) + y = 1

20 / 19 + y = 1

y = −1 / 19

elde edilir.

Aşağıdaki lineer denklem sistemini çözünüz.

3x + 2y + z = 1

2x + 2y + 4z = −2

−x + y − z = 0

Üçüncü denklemi 3 ile çarpıp birinci denklem ile toplarsak,

5y − 2z = 1

2x + 2y + 4z = −2

−x + y − z = 0

elde edilir.

Daha sonra üçüncü denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklem ile toplarsak,

5y − 2z = 1

4y + 2z = −2

−x + y − z = 0

 elde edilir.

Birinci denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

9y = −1

4y + 2z = −2

−x + y − z = 0

elde edilir.

Birinci denklemden y = -1 / 9 elde edilir. Bu değer,

4y + 2z = −2

denkleminde yerine yazıldığında,

z = -4 / 9 

y ve z değerleri −x + y − z = 0 denkleminde yerine yazılırsa,

x = 1 / 3

olarak bulunur.

Aşağıdaki lineer denklem sistemini çözünüz.

6x + 2y − z = −4

x + 2y − z = 0

2x + y + z = 3

İkinci denklemi -6 ile çarpıp birinci denklem ile toplarsak,

−10y + 5z = −4

x + 2y − z = 0

2x + y + z = 3

elde edilir.

Tekrar ikinci denklemi -2 ile çarpıp üçüncü denklem ile toplarsak,

−10y + 5y = −4

x + 2y − z = 0

−3y + 3z = 3

elde edilir.

Üçüncü denklemi 1 / 3 ile çarparsak,

−10y + 5y = −4

x + 2y − z = 0

−y + z = 1

elde edilir .

Üçüncü denklemi -10 ile çarpıp birinci denklem ile toplarsak,

−5z = −14

x + 2y − z = 0

−y + z = 1

elde edilir.

Birinci denklemden z = 14 / 5 olarak bulunur.

Bu değer −y + z = 1 denkleminde yerine yazılırsa,

y = 9 / 5

bulunur.

Bulunan bu değerler, x + 2y − z = 0 denkleminde yerine yazılırsa,

x = -19 / 5

olarak bulunur.

Tavuk ve kuzuların bulunduğu bir ağılda 35 hayvan, 100 bacak vardır. Hangi hayvandan kaçar tane olduğu sorulursa nasıl bir denklem sistemi oluşturmamız gerekir?

Tavuk sayısına x, kuzu sayısına y dersek:

x+y=35 (hayvan sayısını veren denklem)

2x+4y=100 (ayak sayısını veren denklem, zira tavukların 2'şer kuzuların 4'er ayağı bulunur)

Bazı günler 2 bazı günler 3 bez değiştiren bir bebek haftada 16 bez değiştirdiyse, kaç gün 3 bez değiştirmiştir?

Haftada 7 gün olduğuna göre x+y=7

x gün 3 bez, y gün 2 bez kullandığını varsayalım o zaman: 3x+2y=16

İlk denklemden y'yi çekelim: y=7-x

Bu değeri ikinci denkleme yerleştirelim:

3x+2(7-x)=14+x=16 ve buradan x=2 olur.

Bir denklem sistemindeki, her biri bir denklemi ifade eden, 2 adet doğru birbirine paralelse o denklem sisteminin kaç çözümü olur?

Sıfır. Doğrular paralel olduğundan asla kesişmezler denklem sisteminin çözümü olmaz.

Çözümü olmayan bir denklem sistemi örneği yazınız.

Örneğin x+y=10 ve 2x+2y=70

İki bilinmeyenli bir denklem sisteminin sonsuz çözümü olabilir mi?

Evet olabilir. Eğer denklemlerin doğruları binişikse sonsuz noktada kesişmiş olurlar ve sonsuz çözüm olur.

Sonsuz çözğmü olan iki bilinmeyenli doğrusal bir denklem sistemi yazınız.

Örneğin:

x+y=7

3x+3y=21

ikinci denklem ilk denklemin 3'le çarpılmış hali olduğundan ikisi de aslında aynı doğruyu ifade eder, veya üstüste binmiş 2 doğruyu. Bu nedenle sonsuz çözüm bulunur.

Üç bilinmeyenli doğrusal bir denklem sistemi yazınız

Örneğin

x-y+2z=5

2x-y+z=1

x+y-3z=-3

Bir denklem sistemini çözmek için 2 farklı yol gösteriniz.

1. Denklem sistemindeki bir değişkeni bir denklemi kullanarak diğer değişken cinsinden yazıp bu değeri diğer denklemde ikame etmek

2. Denklem sistemindeki bir değişkeni götürmek için negatif (veya pozitif) bir sayıyla çarpıp alt alta toplayarak elemek

Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.

x-y+z=3

2x-y-z=-1

x+y+z=7

1 ve 3. denklemleri alt alta toplarsak 2x+2z=10, buradan x+z=5, yani z=5-x

1 ve 2. denklemleri alt alta toplarsak 3x-2y=2, buradan 3x-2=2y, yani y=(3x-2)/2

Böylece bütün değişkenleri x cinsinden yazmış olduk. Şimdi bu değerleri herhangi bir denklemde yerine yazalım, örneğin 3. denklemde:

x+(3x-2)/2+5-x=7

(3x-2)/2=2

3x-2=4

x=2

Buradan z=5-x=3 ve y=(3x-2)/2=2 olur. Yani (x,y,z)=(2,2,3)

Satır ve sütun matrislerini tanımlayınız.

Sadece 1 satırdan oluşan matrise satır matrisi, sadece 1 sütundan oluşan matrise de sütun matrisi denir.

Genişletilmiş matris nedir?

Katsayı matrisine denklemlerin sağ tarafını oluşturan değer sütununun da eklenmesiyle oluşan matrise genişletilmiş matris denir.

Sıfır matrisi nedir?

Bütün elemanları sıfır olan matristir.

Bir matrisin toplamaya göre tersi nedir, nasıl bulunur?

Bir matrisin toplamaya göre tersi ile kendisinin toplamı sıfır matrisini verir. Bu nedenle A matrisinin toplamaya göre tersi -A olur.

İki matrisin çarpılabilmesi için koşul nedir?

İlk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı aynı olmalıdır. Örneğin 4x3 bir matris ile 3x5 bir matris çarpılabilir ve sonuç 4x5 bir matris olur.

Matrislerde çarpmada değişme özelliği var mıdır?

Hayır yoktur. AxB tanımlı olup BxA tanımsız bile olabilir, eğer ki ilk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit değil ise.

İki bilinmeyenli her denklem sisteminin her zaman bir çözümü var mıdır? Varsa hep tek midir?

Bu sorunun cevabı olumsuz. Sistemdeki her bir denklem düzlemde bir doğruya karşılık geldiğinden, bu soru geometrik olarak iki doğru her zaman kesişir mi, kesişirse tek noktada mı kesişir sorusuna dönüşür.

Hangi koşullarda doğrular birbirlerine paraleldir?

l₁ : y = m₁ x + n₁
l₂ : y = m₂ x + n₂
olmak üzere m₁ = m₂ ve n₁ ile n₂ birbirlerine eşit değil ise doğrular paraleldir. 

Hangi durumlarda doğrular çakışık olur?

l₁ : y = m₁ x + n₁
l₂ : y = m₂ x + n₂
olmak üzere m₁ = m_{2 ve} n₁ = n₂ olduğunda doğrular çakışık olur.

Hangi durumlarda sistemin çözümü değişmez?

Bir denklem sistemini çözmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanırsa sistemin çözümü değismez.
1. İki denklemin yeri değiştirilebilir,
2. Sistemdeki bir denklem sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir,
3. Bir denklem bir sayı ile çarpılıp, sistemdeki diğer bir denkleme eklenebilir.

3x + 5y + 7z=10
2x + 4y - z=6
2x + 4y - z=7

Denklem sisteminin çözümü nedir?

İki denklemin sol yanları eşit fakat sağ yandaki sayılar farklı. Aynı ifade farklı iki sayıya eşit olamayacağı için sistemin hiçbir çözümü yoktur.

Bir matrisin düz yatay ve dikey sırasına ne ad verilir?

Bir matristeki düz yatay bir sıraya matrisin bir satırı, dikey bir sıraya matrisin bir sütunu adı verilir.

Sadece bir satır ya da bir sütundan oluşan matrislere ne ad verilir?

Sadece bir satırdan olu¸san matrise satır matrisi, sadece bir sütundan oluşan matrise sütun matrisi adı verilir.

Matrislerde hangi üç işlem yapılabilir?

Bu işlemler: iki satırın yerlerinin değiştirilmesi; bir satırın sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması; bir satırın bir sayı ile çarpılıp bu çarpımın başka bir satırla toplanmasıdır.

Kare matris nedir?

Satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrise bir kare matris denir.