Genel Matematik Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Yüzde kavramı neyi ifade eder?

Yüzde büyüklük değil orandır. Bir büyüklüğün ne kadarından bahsettiğini ifade eder.

Bir sayının % p si ne demektir?

Bir sayının %p si;

(Sayı x p) / 100 

olan sayıdır.

16 sayısının %25 olan sayı kaçtır?

(16 x 25) / 100 = 4 'dür.

%20 si 25 olan sayı kaçtır?

Yani o sayı;

(Sayı x 20) / 100 = 25 olan sayıdır.

Sayı = (25 x 100) / 20 = 125 bulunur.

Bir sayı %p artırdığımızda oluşan yeni sayı ne olur?

Yeni sayı;

((Sayı + Sayı) x p ) / 100 olur.

Bir sayı %p azaltıldığında oluşan yeni sayı ne olur?

Yeni sayı;

((Sayı - Sayı) x p ) / 100 olur.

1500 TL ye alınan bir mal %30 karla ne kadara satılır?

Önce 1500 TL nin %30 u bulunmalıdır.

(1500 x 30) / 100 = 450 TL dir.

1500 TL sinin %30 u 450 TL olduğuna göre,

1500 + 450 = 1950 TL ye satılır.

1200 TL ye alınan bir mal %20 zararla ne kadara satılır?

Önce 1200 TL nin %20 sini hesaplanmalıdır.

(1200 x 20) / 100 = 240 TL dir.

1200 TL nin %20 si 240 TL olduğuna göre,

1200 − 240 = 960 TL ye satılır.

1200 TL ye alınan bir mal 960 TL ye satılırsa bu mal satılırken yüzde kaç indirim yapılmıştır?

Alınan mal 1200 − 960 = 240 TL ucuzlamıştır.

Bu durumda 240 sayısı 1200 ün yüzde kaçıdır.

Yani;

240 = (1200. x) / 100 denklemini çözülmelidir.

Bu denklemden;

x = (240.100) / 1200 = 20 bulunur.

İndirim oranı %20 dir.

Dizi kavramı nedir?

Doğal sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine, tanımlanan her fonksiyona dizi denir.

Yani bir dizi;

f: N → R şeklinde bir fonksiyondur.

Dizinin genel terimi nedir?

Eğer n doğal sayısına karşılık getirilen sayı ya a_n karşılık geliyorsa a_n sayısına dizinin genel terimi denir.

Aritmetik dizi kavramı nedir?

Her n ∈ N için a_n+1 − a_n sayısı sabit oluyorsa, bu sayıya ortak fark ve a_n dizisine aritmetik dizi denir.

Geometrik dizi kavramı nedir?

Her n ∈ N için a_n+1 / a_n oranı sabit oluyorsa, bu sabit orana ortak çarpan ve böyle a_n dizisine geometrik dizi denir.

Aritmetik diziye bir örnek veriniz.

a_n  = 5n + 1 şeklinde dizi verilsin.

Buna göre;

a_n+1 = 5 n + 1 − 1 dir.

a_n+1 − a_n farkına bakalım. Bu sayı 5 dir.

Ortak farkı 5 olan bir aritmetik dizidir.

Geometrik diziye örnek veriniz.

a_n = 2. 10ⁿ şeklindeki dizide ortak çarpanı 10 olan bir geometrik dizidir.

s = 1 + 2 + 3 + ?+ n toplamı nedir?

s = 1 + 2 + ?+ n − 1 + n

s = n + n − 1 + ?+ 2 + 1

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak;

2s = n(n + 1)

s = (n(n + 1)) / 2 olur.

Bileşik faiz ne demektir?

Belli zaman aralığında gerçekleşen faizin ana paraya eklenmesiyle bulunan tutarın faizidir.

Bileşik faiz formülü nedir?

P banka ya yatırılan para miktarı, faiz oranı olarak ta r oranı alınırsa t yıl sonra elimize geçecek para miktarı,

P (1+r)ⁿ olur.

Yıl yerine üç ay ya da başka bir zaman dilimi alınabilir. Yıl yerine dönem terimi kullanırsak, P TL olan para r dönemlik bileşik faizle yatırılırsa, n dönem sonunda ulaşacağı değeri de P_n ile gösterirsek,

P_n = P (1+r)ⁿ olur.

60 liranın %40'ı kaç liradır?

60*40/100=24

% 30'u 210 olan sayı kaçtır?

Sayımız x olsun:

x*30/100=210

30x=210*100

x=700

Bir miktar para %20 faizle 1 yıllığına bankaya yatırılmış ve yıl sonunda 840 lira olmuştur. Yatırılan para ne kadardır?

Yatırılan para x olsun:

x*120/100=840

120x=840*100=84000

x=700

Aritmetik dizi nedir?

Dizi denilen şey her n doğal sayısına, belli bir kuralla, bir sayı karşılık getirme işidir. Eğer n doğal sayısına karşılık getirilen sayıyı an ile gösterirsek, bazı dizilerde n ne olursa olsun an+1-an sayısı sabit olabilir. Hiç değişmeyen bu sayıya ortak fark ve böyle bir diziye bir aritmetik dizi denir.

Aritmetik bir dizi yazınız.

Örneğin 3, 7, 11, 15, 19... dizisinde her bir eleman bir öncekinden 4 fazla olduğuna göre bu bir aritmetik dizidir.

Geometrik dizi nedir?

Bazı dizilerde an+1/an oranı sabit olabilir. Bu sabit orana ortak çarpan ve böyle bir diziye de bir geometrik dizi denir.

Geometrik dizilere bir örnek veriniz.

Örneğin 1, 4, 16, 64.... bir geometrik dizidir zira her bir terim bir öncekinin 4 katıdır.

Genel terimi a_n=7n-1 olan dizinin 8. terimi kaçtır?

n=8 için a_n=7n-1=7*8-1=55 olur

Genel terimi a_n=2ⁿ olan geometrik dizinin 5. terimi ile 6. teriminin toplamı kaçtır?

5. terim=2⁵=32

6.terim=2⁶=64 olduğundan 64+32=96

4+8+12+16.........+100=?

4'ten 100'e kadar 4'erli artan sayıların adedi 25'tir (serideki her sayıyı 4'e bölerek bunu kolayca görebilirsiniz). Şimdi sayıları alt alta tersten de yazalım.

Yani:

4+8+12+16+................................+100=A olsun

100+96+92+88+..............................+4=A olur

+________________________________

104+104+.......................................+104=25*104=2A

Öyleyse A=25*104/2=25*52=13260 olacaktır.

İlk terimi a ve ortak çarpanı x olan geometrik dizinin 186. terimi nedir?

Dizinin terimlerine y_i diyelim. O zaman:

y₁=a

y₂=ay₁=ax

y₃=ay₂=axx=ax²

y₄=ay₃=ax²x=ax³ olacaktır. Dikkat ederseniz bu dizinin genel teriminin y_n=ax^n-1 olduğu görülecektir. Öyleyse n=186 için y₁₈₆=ax¹⁸⁵ olacaktır.

1+(1/3)+(1/9)+(1/27)+(1/81)+........ şeklinde 1/3'ün kuvvetleri olarak devam eden sonsuz dizinin toplamı nedir?

1+(1/3)+(1/9)+(1/27)+(1/81)+........=A olsun. O zaman, 2. terimden sonrasını 1/3 ortak çarpanı yardımıyla yeniden yazarsak:

1+(1/3)*[1+(1/3)+(1/9)+(1/27)+(1/81)+........]=A olacaktır. Dikkat edilirse bu ifadede köşeli parantez içinde olan kısım da A'ya eşittir. Yani:

1+(1/3)A=A

1=A-A/3

1=2A/3

3/2=A olacaktır. Yani bu sonsuz serinin toplamı sadece birbuçuktur.

30 bin TL'lik bir mevduat yıllık %10 bileşik faizle 3 yılda ne kadar faiz getirisi sağlar?

100 lira ile başlamış olduğumuzu düşünelim. 1. yılın sonunda 100*1,1=110 liramız olur. 2. yılın sonunda 110*1,1=121 liramız olur. 3. yılın sonunda ise 121*1,1=133,1 liramız olacaktır. Ana para 100 lira olduğuna göre 33,1 lira faiz getirisi elde etmiş oluruz. Her 100 lira için 33,1 lira faiz getirisi olduğuna göre 30 bin TL için:

(30000/100)*33,1=9930 TL faiz geliri elde etmiş oluruz.

Bir aile ayda 1000 lira tasarruf edebilmektedir. Birikimlerini mevduat hesabında değerlendiren aileye banka aylık % 1 faiz ödemesi vermektedir. Mevduatlarından hiç para çekmedikleri takdirde 10 yıl sonra ne kadar para biriktirmiş olurlar?

Aile ilk yatırdıkları 1000 lira için 10 yıl yani 120 ay faiz ödemesi alacaktır. İkinci yatırdıkları 1000 lira için ise 119 ay, üçüncü yatırdıkları bin lira için 118 ay... 120.ay için ise sadece 1 ay faiz ödemesi alacaklardır. Bu durumda toplam birikimi B ile ifade edersek:

B=1000*1,01¹²⁰+1000*1,01¹¹⁹+1000*1,01¹¹⁸+......+1000*1,01

B=1000(1,01¹²⁰+1,01¹¹⁹+1,01¹¹⁸+......+1,01)

Şimdi parentez içindeki toplamı bulmamız lazım. Bu toplama x diyelim. Bu durumda:

B=1000x olacaktır.

x=1,01¹²⁰+1,01¹¹⁹+1,01¹¹⁸+......+1,01

x=1,01(1,01¹¹⁹+1,01¹¹⁸+......+1,01+1)

x=1,01(x-1,01¹²⁰+1)

x=1,01x-1,01¹²¹ +1,01

1,01¹²¹ -1,01=1,01x-x

0,01x=(1,01¹²¹ -1,01)

x=100(1,01¹²¹ -1,01)

Bu durumda:

B=1000x=100000(1,01¹²¹ -1,01)=232.339 TL

Bir bankadan ATL borcu dönemlik r faiz oranı ile alalım. Eğer bankaya bu borcu her dönem B TL'lik eşit taksitlerle ödemek istersek borcu hangi dönemde amorti etmiş oluruz?

Eğer her ay B lira ödersek k döneminin sonunda kalan borcumuz:

A_k=(1+r)A_k-1-B=(1+r)^kA-B((1+r)^k-1)/r

Son ödeme ayında kalan borcumuz sıfır olmalıdır. O yüzden:

(1+r)ⁿA-B((1+r)ⁿ-1)/r=0

(1+r)ⁿA=B((1+r)ⁿ-1)/r

B=Ar(1+r)ⁿ/((1+r)ⁿ-1)

Bu denklemde A, B ve r bilinirse n bulunabilir.

Mehmet otomobil almak için 48 ay vadeli, % 1.2 faizle 40 bin TL kredi çekerse aylık ne kadar taksit ödemelidir?

B=Ar(1+r)ⁿ/((1+r)ⁿ-1) formülünde n=48 r=0.012 ve A=40000 değerleri yerine yazıldığında B=1101.10 bulunur.

Bir bakteri türünün popülasyonu her ay ikiye katlanmaktadır. Başlangıçta 1 milyon bakteri bulunan bir ortamda 4. ayın sonunda ne kadar bakteri bulunur?

Bakteri popülasyonu 1, 2, 4, 8, 16... şeklinde artmaktadır. Bu dizinin 4. elemanı 8 olduğuna göre 4. ayın sonunda 8 milyon bakteri bulunur.

Bir radyoaktif madde her dakika ağırlığının yarısını kaybetmektedir. Başlangıçta 1 kg olan radyoaktif madde 5. dakikanın sonunda kaç gr gelir?

Her dakika ağırlığı yarıya düşeceğine göre 1. dakikanın sonunda 500 gr, 2. dakikanın sonunda 250 gr.. şeklinde bir dizi oluşacaktır. Bu dizinin 5. elemanı 31.25 olacaktır. Yani 1 kg'lık radyoaktif madde 5 dakikanın sonunda 31.25 gr'a düşecektir.

500, 250, 125, 62.5, 31.25

Bir büyüklüğün %60’ı demek ne demektir?

Bir büyüklüğün %60’ı demek, eğer o büyüklük 100 birim olsaydı 60 birimi demektir.

%20 ifadesi ondalık olarak ne ifade eder?

%20 demek 0, 20 demektir.

Yüzdeler neyi ifade eder?

Yüzdeler büyüklük değil, yalnızca orandır. Yani bir büyüklügün ne kadarından bahsettiğimizi ifade eder.

Bir hisse senedinin değeri 100 TL’den 180 TL’ye yükseldiyse hissenin değeri yüzde kaç artmıştır?

Bir hisse senedinin değeri 100 TL’den 180 TL’ye yükseldiyse hissenin değeri, bağlı olarak 180-100/100 = 80/100 oranında artmıştır. İşte bu artışı %80 olarak gösteriyoruz.

%60 başka nasıl şekillerde ifade edilebilir?

3/5 kesirli sayısı hem "üç bölü beş" olarak hem de "beşte üç" olarak okunur. Bu kesri 20 ile genişletirsek 60/100 olur. İşte %60 budur.

12’nin %25’i nedir?

12’nin %25’i olan sayı (12× 25)/100 = 3’dür

50 sayısını %4 artırdığımızda yeni sayı ne olur?

50 + (50 × 4/100) = 52’dir

Haftalık harçlığı 50 TL olan bir çocuğun harçlığı %20 oranında azaltılırsa bu çocuğun haftalık harçlığı ne olur?

Harçlıgın azalma oranı %20 olduğunda, bunun harçlıkta meydana getirdiği mutlak azalma 50× 20/100 = 10 TL’dir. Yani yeni harçlık 50 - 10 = 40 TL olur.

a_ⁿ = 3n + 2 ¸seklinde verilen dizinin özelliği nedir, bu dizinin içinde yer alan terimlere örnek veriniz.

a_n = 3n + 2 ¸seklinde verilen dizi, ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizidir. Bu dizinin ilk birkaç terimi
a₁ = 3 · 1 + 2 = 5, a₂ = 3 · 2 + 2 = 8, a₃ = 3 · 3 + 2 = 11

a_n = 10ⁿ şeklinde verilen dizinin özelliği nedir ve dizide yer alan terimlere örnek veriniz.

a_n = 10ⁿ ¸seklinde verilen dizi de, ortak çarpanı 10 olan bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk bir kaç terimi
a¹ = 10¹ = 10, a² = 10² = 100, a³ = 10³ = 1000

1+2+3+··· +n işlemi neye eşittir?

n(n + 1)/2

1+k+k²+···+kⁿ işleminin sonucu neye eşittir?

(kⁿ⁺¹ - 1)/(k - 1)

İtfa ne anlama gelir?

İtfa sözcügü günlük hayatta pek kullanılmamasına rağmen bundan türeyen itfaiye ne kadar yaygın bir kullanıma sahip. İtfa borcu söndürürken, itfaiye de yangın söndürüyor!

Borç amortismanı nedir?

Borç amortismanından kastımız, uygun bir faizle borç alınan bir paranın, taksitler
halinde geri ödenmesidir.