Genel Matematik Dersi 4. Ünite Sorularla Öğrenelim

Üstel Ve Logaritmik Fonksiyonlar

1. Soru

Üstel fonksiyon nedir?

Cevap

a pozitif bir gerçel sayı ve a ≠ 1 olmak üzere f (x) = ax  şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.


2. Soru

Üstel fonksiyon tanımında a = 1 olursa ne olur?

Cevap

a = 1 durumunda her x gerçel sayısı için;

ax  = 1x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.


3. Soru

a > 1 ve x′ler pozitif gerçel sayı ise ax hakkında ne söylenebilir? 

Cevap

a > 1 ve x!ler pozitif gerçel sayı ise ax > 1 ’dir.


4. Soru

a > 1 ve x′ler negatif gerçel sayı ise ax hakkında ne söylenebilir?

Cevap

a > 1 ve x' ler negatif gerçel sayı ise


0 <  ax < 1 ’dir.


5. Soru

a  > 1 ise ax fonksiyonu nasıl bir fonksiyondur?

Cevap

a > 1 ise ax fonksiyonu artan fonksiyondur. Çünkü f (x) = ax üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x1 < xiçin ax1 < ax2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.


6. Soru

a= ay üslü denkleminden hangi eşitlik elde edilir?

Cevap

a= ay => x = y ′dir.


7. Soru

a= bx eşitliği a = b olmasını gerektirir mi?

Cevap

a= bx  eşitliği a = b olmasını gerektirmez.

Örneğin, a = –1, b = 1 ve x = 2 ise

(- 1)2 = 1 ve 12  = 1 olur.

 


8. Soru

Her x gerçel sayısı için f(x) = a üstel fonksiyonun görüntü kümesi nedir?

Cevap

Her x gerçel sayısı için a > 0 olduğundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,∞) açık aralığıdır.


9. Soru

Eğer fonksiyon grafiği veriliyorsa bu grafiğe bakarak fonksiyonun bire-bir mi örten mi olduğunu nasıl anlarız?

Cevap

f:  R → R fonksiyonunun grafiği verildiğinde, her y ∈ R noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.


10. Soru

Üstel fonksiyonlar bire-bir ve örten midir?

Cevap

Üstel fonksiyonlar bire-bir fonksiyonlardır. Çünkü, üstel fonksiyonun grafiğinde yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyor. Ancak değer kümesi olarak gerçel sayılar alındığında üstel fonksiyonlar örten olmaz. Çünkü, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz.


11. Soru

Hangi koşulda üstel fonksiyonlar örten fonksiyon olur?

Cevap

Değer kümesi pozitif sayılar olarak alınırsa üstel fonksiyonlar örten olur. Yani;

f:  R →  (0, ∞)

f(x) = ax

şeklinde tanımlanmışsa
üstel fonksiyonlar örten olur.


12. Soru

Üstel fonksiyonların tersi var mıdır? 

Cevap

Eğer;

f:  R →  (0, ∞)

f(x) = ax

şeklinde tanımlanmışsa
üstel fonksiyonlar bire-bir ve örten olur.
Bu sayede üstel fonksiyonun tersi tanımlanabilir.


13. Soru

25 , 2-5, 215 , 1 sayılarını büyükten küçüğe sıralaması nasıldır?

Cevap

Verilen sayıların büyükten küçüğe sıralaması aşağıdaki şekilde olur:

215 > 2> 1 > 2-5


14. Soru

f:  R →  (0, ∞) ,  f(x) = 3şeklinde tanımlı üstel fonksiyonu verilsin. Bu

Cevap

Üstel fonksiyon f(x) = 3şeklinde tanımlı olduğundan,

x = 2 için f(2) =  3= 9

ve

x = -1 için f(-1) =  1/3

Bu durumda, f(2) + f(-1) = 9 + (1/3) = (28/3) olarak bulunur.


15. Soru

23 · 25 · 2-4 işleminin sonucu kaçtır?

Cevap

ax + y = ax aözelliğinden faydalanılarak;

23 + 5 + (-4)  = 24 = 16

olarak bulunur.


16. Soru

f:  R →  (0, ∞) , f(x) = 23x-1 şeklinde tanımlı f fonksiyonu verilsin. Bu durumda f(2x) fonksiyonu nedir?

Cevap

 f(x) = 23x-1 olduğundan,

f(2x) = 23.(2x)-1= 26x-1 ’dir.


17. Soru

f(x) = 5x-1 fonksiyonu için, f(k) = 624 olduğuna göre, k değerini nedir?

Cevap

f(x) = 5x-1 olduğundan,

f(k) = 5- 1 = 624

f(k) = 5 = 625

k = 4 

olur


18. Soru

f(x) = 2+ 3x  fonksiyonu için f(2) + f(0) değeri kaçtır?

Cevap

f(x) = 2+ 3x  ise,

f(2) = 2+ 3= 13

f(0) = 2+ 3= 2

f(2) + f(0) = 13 + 2 = 15


19. Soru

f(x) = 12x - 11x  fonksiyonu için f(2) - f(1) farkı kaçtır? 

Cevap

f(x) = 12x - 11x  olduğundan;

f(2) = 12- 11= 144 - 121 = 23

f(1) = 12- 11= 1

f(2) - f(1) = 23 - 1 = 22 olur.


20. Soru

Bir bakteri topluluğunda bakteriler her günün sonunda 2 katı kadar çoğalmaktadır. Başlangıçta 10 bakterinin bulunduğu bu toplulukta 10. gün sonunda kaç bakteri olacaktır?

Cevap

0. gün → 10 = 10 • 20
1. gün → 20 = 10 • 21
2. gün → 40 = 10 • 22
3. gün → 80 = 10 • 23

                   ?
t. gün → S(t) = 10 • 2t

t = 10 için 10. gün sonunda,

S(10) = 10 • 210 = 5 • 211 kadar bakteriye ulaşır.


21. Soru

f(x) = (2-1 ) •  (2- 2)2  olduğuna göre, f(2) = 6.k ise k değeri kaçtır?

Cevap

f(x) = (2-1 ) •  (2- 2)olduğundan,

f(2) = (2-1 ) •  (2- 2)= 3 • 4 = 12 'dir

f(2) = 6 • k = 12 => k= 2 olur.


22. Soru

Logaritma fonksiyonu nedir?

Cevap

 a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere;

f:  R → R, f(x) = ax

üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna, logaritma fonksiyonu denir ve loga ile gösterilir.

Buna göre;

loga  : R+ → R

y = loga  x <=> x = ay


23. Soru

Logaritma fonksiyonunun tanımında a = 1 olabilir mi?

Cevap

y = ax üstel fonksiyonunda a tabanı 1’den farklı pozitif sayıydı. Bunun tersi olan logaritma fonksiyonunda da a tabanı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.


24. Soru

10 tabanına göre logaritmaya ne denir?

Cevap

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir.


25. Soru

e tabanına göre logaritmaya ne denir.?

Cevap

e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.


26. Soru

Bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa, ters fonksiyonunun grafiği nasıl bulunur?

Cevap

Bir fonksiyonun grafiğini biliniyorsa, ters fonksiyonunun grafiğini bulabilmek için y = x doğrusuna göre yansımasını almak yeterlidir.


27. Soru

Inx fonksiyonun grafiği hangi üstel fonksiyonunun y = x doğrusuna göre yansımasıdır?

Cevap

y = ex  üstel fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre yansımasıdır.


28. Soru

log25 + log5 − 3log5 ifadesinin belirttiği sayı kaçtır?

Cevap

Logaritma özellikleri sırasıyla kullanıldığında,

log25 + log5 − 2log5 = log25.5 − log53

= log125 − log125 = 0


29. Soru

loga 36 = 2 ise a’nın değeri kaçtır?

Cevap

Logaritma fonksiyonunun tanımından a= 36 olur.

Buradan a = 6 ve a = −6 olarak bulunur. Fakat logaritma fonksiyonunun tanımı gereğince a = 6’dır.


30. Soru

log2 ≈ 0,3 ise log16 kaçtır?

Cevap

log2 ≈ 0,3 ise,

log16 =  log24

= 4 • log2

≈ 4 • 0,3

=1.2

olarak bulunur.


31. Soru

Inx = y olduğuna göre logx2 nedir?

 

Cevap

Inx = y olduğundan ey= x 'dir. 

logx= 2 • logx

=2 • y • loge 'dir

 


32. Soru

Üstel fonksiyon nedir?

Cevap

a pozitif bir gerçel sayı ve a 1'den farklı olmak üzere f(x)=ax şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.


33. Soru

f(x)=x3 bir üstel fonksiyon mudur?

Cevap

Hayır değildir. x'in tabanda değil üs'te olması gerekir. Örneğin 3x bir üstel fonksiyondur.


34. Soru

Bir fonksiyonun grafiğini kullanarak birebir veya örten olup olmadığını anlayabilir miyiz?

Cevap

Evet anlarız. Her y noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.


35. Soru

Bir fonksiyonun hem birebir hem örten olup olmadığının anlaşılması için grafiksel yöntem nedir?

Cevap

Her y noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Bu durumda hem örten hem birebir olması için söz konusu paralel doğruların fonksiyon grafiğini yanlızca bir noktadan kesmesi gerekir.


36. Soru

Logaritmik fonksiyon nedir?

Cevap

f(x)=ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve f-1(x)=logax  şeklinde gösterelir. Bu fonksiyonu kısaca y=logax şeklinde de yazıyoruz.


37. Soru

Doğal logaritma kavramını tanımlayınız.

Cevap

e (e=2, 7182818284590...) tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir.


38. Soru

Bayağı logaritma nedir?

Cevap

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir. 10 tabanına göre logaritma, çok kullanılan bir logaritma olduğundan log10x gösterimi yerine tabana herhangi bir şey yazmadan logx gösterimi kullanılır.


39. Soru

log264=?

Cevap

26=64 olduğundan log264=6


40. Soru

logxy=logx+logy olduğunu gösteriniz.

Cevap

logx=u ve logy=v diyelim. Bu durumda x=10u ve y=10v’dir. Üstel fonksiyonların özelliklerini kullanırsak, xy=10u10v=10u+v olduğunu görürüz. Logaritma tanımından da logxy=u+v=logx+logy


41. Soru

log x/y=logx-logy olduğunu gösteriniz.

Cevap

logx=u

logy=v

olsun. Bu durumda x/y=10u/10v=10u-v olacaktır. Eşitliğin her iki tarafının da logaritmasını aldığımızda ise:

log(x/y)=log10u-v=u-v=logx-logy olur


42. Soru

logx+logy-logz ifadesini tek logaritmada nasıl gösterebiliriz?

Cevap

logx+logy=log(xy)

logxy-logz=log(xy/z) olduğundan:

logx+logy-logz=log(xy/z) olur


43. Soru

log2+log5-log10=?

Cevap

log2+log5=log(2*5)=log10

log10-log10=0


44. Soru

log20+log50-log10=?

Cevap

log20+log50-log10=log(20*50/10)=log100=2


45. Soru

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar nerelerde kullanılır, örnekler veriniz?

Cevap

Nüfus hesaplamasında (eğer artış hızının sabit kalacağı varsayımı varsa) ve faiz hesabında (eğer faiz oranının yıllar boyunca sabit kalacağı varsayımı varsa) üstel ve logaritmik fonksiyonlar kullanılır.


46. Soru

f(x)=-3x bir üstel fonksiyon mudur?

Cevap

Hayır değildir. Örneğin x=1/2=0.5 için -30.5 gerçel sayılarda tanımlı değildir. Üs (x) negatif olabilir lakin f(x)=ax şeklinde tanımlanan bir üstel fonksiyon için, taban (a) negatif olamaz, dahası a>1 olmalıdır.


47. Soru

f(x)=ax ve g(x)=bx ise h(x)=(f*g)(x)=?

Cevap

h(x)=ax bx =(ab)x olur.


48. Soru

f(x)=ax ve g(x)=bx ise h(x)=f(x)/g(x)=?

Cevap

h(x)=ax /bx =(a/b)x


50. Soru

f (x) = ax üstel fonksiyonunun tanım ve değer kümesi nedir?

Cevap

Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir; değer kümemizi de yine gerçel sayılar kümesi olarak alabiliriz. Biz daha çok a > 1 durumu ile ilgileneceğiz


51. Soru

f (x) = ax üstel fonksiyonunda a = 1 olursa ne olur?

Cevap

Her x gerçel sayısı için ax = 1x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.


52. Soru

f (x) = ax üstel fonksiyonunda neden a > 0 alınmaktadır?

Cevap

Mesela a = -2 alamaz mıydık? (-2) sayısının tamsayı kuvvetlerini alabiliriz. Mesela, (-2)2 = 4,

(-2) 3 = -8 ¸seklinde tamsayı kuvvetleri anlamlıdır. Ancak herhangi bir gerçel sayı kuvvetini aldığımızda bu anlamlı olmayabilir. Örneğin, (-2) 1 /2 =  olur. Ancak  bir gerçel sayı degildir. Çünkü hiçbir gerçel sayının karesi -2 değildir.


53. Soru

Her x gerçel sayısı için ax sayısı daima pozitif bir gerçel sayı olduğuna göre, x = 0 için  ax  kaçtır?

Cevap

x = 0 için  a0 = 1’dir.


54. Soru

f (x) = ax üstel fonksiyonunda a > 1 ise ax fonksiyonu nasıl fonksiyondur?

Cevap

f (x) = ax üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x1 < x2 için ax1 < ax2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.


55. Soru

f (x) = ax üstel fonksiyonun görüntü kümesi nedir?

Cevap

Her x gerçel sayısı için ax > 0 oldugundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,?) açık aralığıdır


56. Soru

Üstel fonksiyonlar örten midir?

Cevap

Değer kümesi olarak gerçel sayıları aldığımızda üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örneğin, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz. Ancak değer kümesini pozitif sayılar olarak alırsak üstel fonksiyonlar örten olur.

Dolayısıyla üstel fonksiyonu bundan sonra f : R › (0,?) f (x) = ax ¸seklinde fonksiyonlar olarak düşünecegiz.

(0,?) aralığını R+ ile de gösteriyoruz. Bu şekilde düşündüğümüzde, üstel fonksiyonlar, bire-bir ve örten olur.

Bu sayede ax ’in ters fonksiyonunu tanımlayabileceğiz.


57. Soru

e harfi nedir?   

Cevap

e = 2, 7182818284590 ... ¸seklinde bir irrasyonel sayıdır. Bu e gösterimi, ilk kez 'Isviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 1727 yılında exponential kelimesinin ilk harfi e olduğu için kullanılmıştır. e sayısı da sonuçta bir sayıdır ve 2 ile 3 arasındadır.


58. Soru

2x = 16 eşitliği verildiğinde x değerini nasıl bulabiliriz?

Cevap

2’nin hangi kuvvetini alırsak 16 eder sorusunun yanıtını aramalıyız. 2’nin 4. kuvveti 16 olacağından x sayısı 4 olmalıdır.


59. Soru

y = 10x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?

Cevap

y = 10x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu y = log10 x’dir.


60. Soru

Bayağı ve doğal logaritma nedir?

Cevap

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma, e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.


61. Soru

25 = 32 olduğuna göre  log2 32 kaçtır?

Cevap

25 = 32 olduğuna göre  log2 32= 5 dir.


62. Soru

Maddenin başlangıçtaki kütlesi y0 olsun. t zaman sonra kalan kütle y(t) olmak üzere y(t)’yi nasıl buluruz?

Cevap

y(t) = y0 · ek t  formülüyle buluruz. Burada k, üstel azalış katsayısıdır.


Kayıt Yenileme (Ders Ekle Sil)
7 Şubat 2022 Pazartesi