Genel Matematik Dersi 3. Ünite Sorularla Öğrenelim

Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi ne
demektir?

A kümesinden B kümesine tanımlanan (A ve B
boştan farklı olmak üzere) bir f fonksiyonu için A
kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine ise
fonksiyonun değer kümesi adı verilir.

Tanım kümesinden alınan bir elemanın f fonksiyonu
altında değer kümesinde eşlediği elemana ne denir?

f fonksiyonunun tanım kümesindeki herhangi bir
a elemanını, değer kümesinde eşlediği elemana, a’nın
f altındaki görüntüsü denir ve f(a) ile gösterilir.

Bir f : A → B fonksiyonu için, fonksiyonun görüntü
kümesi ne demektir?

f : A → B fonksiyonu için, A kümesindeki
elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu
kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A)
olarak gösterilir. Bu küme aynı zamanda aşağıdaki küme
ile ifade edilir:
                       f {A} = {f (a)|a ∈ A}

Sabit fonksiyon ne demektir?

f : A → B fonksiyonu A kümesinin her elemanını
B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f ’ye sabit
fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle c ∈ B olmak üzere, A kümesinden alınan
her a elemanı için, f (a) = c ise f’ye sabit fonksiyon
denir.

Bire-bir fonksiyon nedir?

Verilen bir f : A → B fonksiyonu için;
X₁ , X₂ ∈ A olmak üzere,
X₁  ≠  X₂ iken f(X₁ ) ≠ f( X₂) oluyorsa,
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.
Bu tanım aynı zamanda f (X₁) = f( X₂) iken X₁ =  X₂
oluyorsa şeklinde de okunabilir. Bu koşul sağlanıyorsa da
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.

Örten fonksiyon ne demektir?

f : A → B fonksiyonu verilsin.
Her b ∈ B için, f (a) = b olacak şekilde bir a ∈ A varsa,
f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
Bu tanıma denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine
eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle, f : A → B fonksiyonu için;
f (A) = B oluyorsa, f örten bir fonksiyondur.

f : A → B ve g: A → B gibi iki fonksiyonun eşit olması
için gereken şart nedir?

Verilen f ve g fonksiyonlarının eşit olması için
tanım kümesinden alınan her a elemanı için;
f a = g(a) oluyorsa,
f ve g fonksiyonları eşittir denir.

Tanımlanan bir f : A → A fonksiyonu için, “f, A
kümesinin birim fonksiyonudur” diyebilmemiz için hangi
şartı sağlamalıdır?

f : A → A  fonksiyonu A kümesinin her a
elemanını yine a ile yani kendisiyle eşliyorsa, f ’ye A
kümesinin birim fonksiyonu denir.
Birim fonksiyon genelde f yerine I ile ya da tanım
kümesini belirtmek için I_A ile gösterilir.

f : A → B  fonksiyonun ters fonksiyonu ne anlama
gelir?

Verilen f : A → B  fonksiyonu için f^-1 : B → A   ters
fonksiyonu b ∈ B için f^-1  (b) = a olarak tanımlanır.
Burada a, f (a) = b koşulunu sağlayan yegane elemandır.

f : A → B fonksiyonun ters fonksiyonu olabilmesi için
fonksiyonun sahip olması gereken özellikler nelerdir?

Verilen f : A → B fonksiyonun, bire-bir ve örten
fonksiyon olması gerekmektedir.

f : A → B fonksiyonun örten olmaması ters
fonksiyonun tanımlanmasında ne gibi bir soruna yol açar?

f : A → B fonksiyonu örten değilse o zaman B
kümesinde, A kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü
olarak ortaya çıkmayan en az bir eleman vardır.

f : A → B fonksiyonun bire-bir olmaması ters
fonksiyonun tanımlanmasında ne gibi bir soruna yol açar?

f : A → B fonksiyonu bire-bir değilse A
kümesinde a_{1  ve}  a₂   gibi öyle farklı iki eleman vardır ki,
bunların görüntüleri aynı b elemanı olur. Bu durumda
seçilecek eleman keyfi olacaktır.

f : A → B  fonksiyonu ile g : B → C   fonksiyonunun
bileşke fonksiyonu nasıl tanımlanır?

Verilen f : A → B  ile g : B → C   fonksiyonlarının
bileşkesi g º f : A → C   dir.
Bir a ∈ A için;
(g º f )(a) = g(f (a) ) fonksiyonuna,
f ile g fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

f : A → B  fonksiyonu bire-bir ve örten olsun. Bu
durumda f ’nin ters fonksiyonu olan f^-1 : B → A
fonksiyonu ile bileşkesi hangi özel fonksiyon olur?

f : A → B  bire-bir ve örten fonksiyonu için;

f^-1  º f = I_A 
ve
f º f^{-1 =} I_{B olur.}

_{Yani birim fonksiyondur.}

f : R → R mutlak değer fonksiyonu nasıl ifade edilir?

Parçalı tanımlı bir şekilde aşağıdaki gibi ifade
edilir:
f (x) = |x| = { -x, x ≤ 0 ise

                        x, x > 0 ise

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların toplamı nasıl ifade edilir?

a ∈ A olmak üzere;
             f + g : A → R
     (f + g) (a) = f (a) + g(a)
            olarak tanımlanır.

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların farkı nasıl ifade edilir?

a ∈ A olmak üzere ;
                   f - g: A → R
             (f - g)(a) = f (a) − g(a)
                olarak tanımlanır.

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların çarpımı nasıl ifade edilir?

a ∈ A olmak üzere;
               f . g: A → R
        (f . g)(a) = f(a) . g(a)
            olarak tanımlanır.

f:R → R, f(x) = 3x + 7 fonksiyonu veriliyor. Buna
göre 2f(0) − f(3) değeri kaça eşittir?

  f(x) = 3x + 7 ifadesinde x yerine 0 yazılırsa;
                f(0) = 3 * 0 + 7
                        = 7
                 olarak elde edilir.
Benzer şekilde fonksiyonun ifadesinde x yerine 3 yazılırsa; 
                   f(3) = 3 * 3 + 7
                          = 16
                       elde edilir.
Bulunan bu değerler yerlerine yazılırsa;
             2f(0) - f(3) = 2 * 7 - 16
                      = 14 - 16
                           = -2
                    değeri bulunur.

f:R → R, fonksiyonu;
                f(x) = {  5 - x, x ≤ 2

Fonksiyon ikiden küçük ya da ikiye eşit olan x
sayılarını 5 - x değeri ile eşlediğinden ve 2 ≤ 2
olduğundan f(2) = 3’tür.
Benzer şekilde, fonksiyon ikiden büyük olan x sayılarını
6 + 2x değeri ile eşlediğinden ve 4 > 2 olduğundan;                                             f(4) = 14’tür.
Sorulan f(2) - f(4) değeri olduğundan bulunan sayılar
yerine yazılırsa;
                   f(2) - f(4) = 3 - 14 = -11
                         değerine ulaşılır.

Verilen f:R → R, f(x) = 5x ve g:R → R, g x =
x - 7 fonksiyonları için (f º g)(x) ve (g º f)(x)
fonksiyonlarını bulunuz.

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.
Her hangi bir x gerçel sayısı için (f º g) x = f(g x )
olduğundan;
                   (f º g) (x) = f (g (x)  )
                             = 5g (x)
                             = 5 (x - 7)
                             = 5x - 35
                         olarak bulunur.
Benzer şekilde (g º f) (x) = g(f (x) ) olduğundan;
                       (g º f) (x) = g (f (x) )
                              = f (x) - 7
                              = 5x - 7
                          olarak bulunur.

f:R → R , f (x) = 2x + 10 ve g:R → R , g(x) = 1
olsun.(f ° g)(7) ve (g ° f)(7) değerleri kaça eşittir?

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.

(f ° g)(7) sorulduğundan ve (f ° g) (7) = f(g (7))
olduğundan;
                 (f ° g) (7) = f(g (7))
                      = 2g (7) + 10
                       = 2 * 1 + 10
                              = 12
                       olarak bulunur.

Benzer şekilde (g ° f)(7) sorulduğundan ve (g °
f) (7) = g(f (7) ) olduğundan;
                  (g ° f) (7) = g (f (7))
                           = g 24
                              = 1
                       olarak bulunur.
Görüldüğü üzere;
                (f ° g)(7) ≠ (g ° f)(7)
                     olarak bulunur.

R ’nin kendisiyle Kartezyen çarpım kümesi nasıl
tanımlanır?

Sıralı sayı çiftlerinin kümesine R’nin kendisiyle
Kartezyen çarpım kümesi denir ve şu şekilde ifade edilir:
              R×R = R² = {(x, y)|x, y ∈ R}
(x, y) sıralı ikilisinde x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni;
y’ye de ikinci bileşeni denir.

Kartezyen koordinat sistemini tanımlayınız.

İki sayı doğrusunun, sıfır noktalarında dik olarak
düzleme yerleştirilmesi sonucunda kartezyen koordinat
sistemi oluşur.

Burada yataydaki sayı eksenine x ekseni ya da apsisler
ekseni, düşeydeki sayı eksenine ise y ekseni ya da
ordinatlar ekseni denir. Ayrıca sayı doğrularının
kesiştikleri noktaya başlangıç noktası adı verilir.

f: A ⊆ R → R fonksiyonunun grafiği nasıl tanımlanır?

f: A ⊆ R → R fonksiyonu verilsin.

A kümesinin her bir x elemanı için x ile onun görüntüsü
olan f(x) ’in oluşturduğu (x, f(x)) sıralı ikililerinin
kümesine f’nin grafiği denir ve bu küme G_f ile gösterilir:
                    G_f = { (x, f (x) | x ∈ A) }

Düzlemde iki noktadan kaç doğru geçer?

Düzlemde bir noktadan sonsuz çoklukta doğru
geçmesine karşın, farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.

Fonksiyon kavramını tanımlayınız.

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, f:A›B şeklinde gösterilir.

Görüntü kümesini tanımlayınız.

f:A›B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f(A) olarak gösterilir. O halde f’nin görüntü kümesi, f(A)={f(a)|a?A} kümesidir.

Değer kümesi görüntü kümesinin alt kümesi midir?

Hayır. Aksine görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir, çünkü görüntü kümesindeki her elaman değer kümesinde de bulunur, fakat değer kümesindeki bazı elemanlar görüntü kümesinde yer almayabilir.

f(x)=x+2 bire-bir fonksiyon örneği midir?

Evet. Her bir x için bir tane x+2 değeri vardır.

Örten fonksiyon nedir?

f:A›B fonksiyonu verilsin. Her b?B için f(a)=b olacak şekilde bir a?A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f:A›B fonksiyonu için f(A)=B ise f örtendir.

A pozitif tam sayılar kümesi olsun. A kümesindeki her bir x elemanı için

f(x)=2x+3 şeklinde bir fonksiyon tanımlansın. Bu f(x) fonksiyonu örten midir?

Evet örtendir. A=(1,2,3,4....) olmak üzere B=(5,7,9,11...) kümesi f(x)=2x+3 fonksiyonunun değer kümesini oluşturur. B kümesinde açıkta kalan eleman bulunmamaktadır.

Sabit fonksiyon nedir?

f:A›B fonksiyonu A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f’ye sabit fonksiyon denir. Yani c?B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f(a)=c ise f’ye sabit fonksiyon denir.

f(x)=x, g(y)=3, h(t)=2t fonksiyonlarından hangileri sabit fonksiyondur?

Sadece g(y)=3 sabit fonksiyondur, zira y ne olursa olsun değer kümesinde tek eleman bulunmaktadır.

Birim fonksiyon nedir?

f:A›A fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile eşliyor ise f’ye A kümesinin birim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için IA ile gösterilir.

Birim fonksiyonlar aynı zamanda birebir ve örten midir?

Evet, birim fonksiyonlar hem birebir hem örtendir. Zira tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi aynı olduğundan, her elemanın tek bir karşılığı vardır ve açıkta kalan eleman yoktur.

Bileşke fonksiyon nedir?

f:A›B, g:B›C fonksiyonları verilsin. Bu durumda g?f:A›C,(g?f)(a)=gf(a) fonksiyonuna,f ile g fonksiyonunun bileşke fonksiyonu denir.

Ters fonksiyon nedir?

f:A›B, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda,f fonksiyonunun ters fonksiyonu f^-1 ile gösterilir. f^-1 :B›A fonksiyonu b?B için f^-1(b)=a olarak tanımlanır. Burada a, f(a)=b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.

f(x)=2x-1 ve g(x)=x² fonksiyonları için (f+g)(2)=?

(f+g)(x)=2x-1+x²

olacağından (f+g)(2)=7 olur.

x bir gerçel sayı ise f(x)=x² fonksiyonu için değer kümesini tanımlayınız.

f(x)=x² olduğundan değer kümesi negatif olmayan gerçel sayılar kümesi olur.

f(x)=3/x fonksiyonu için değer kümesini tanımlayınız.

x hangi değeri alırsa alsın 3/x sıfır değerini almayacaktır. Bu nedenle değer kümesi sıfır hariç tüm gerçel sayılardır.

Fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?..

f : A  B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f ’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir. O halde f ’nin görüntü kümesi,

f (A) = {f (a) | a  A} kümesidir.

Eşit fonksiyon nedir?

f, g : A› B fonksiyonları verilsin. Eğer tanım kümesinden aldığımız her a elemanı için, f (a) = g(a) oluyorsa, f ile g fonksiyonları eşittir.

f :R ›R , y = f (x) = x²+ x - 2 kuralı ile verilen fonksiyon için, x = 3’e karşlık gelen y = f (3) değerini bulunuz.

f (x) = x²+ x -2 ifadesinde, x gördüğümüz yere 3 yazarsak

f (3) = 3²+3-2 = 9+3-2 = 10 olarak buluruz.

f :R  ›R

f (x) = x +5 fonksiyonu örten midir?

Görüntü kümesi değer kümesine eşit mi yani? Bunun için değer kümesinden keyfi y elemanı alıp,

f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadığına bakacağız. Aldığımız keyfi y için bu özellikte bir x varsa, fonksiyon örtendir diyeceğiz.

y = x + 5 denkleminden x = y - 5 olur. Yani x = y - 5 için f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.