Genel Matematik Dersi 3. Ünite Sorularla Öğrenelim

Fonksiyonlar

1. Soru

Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi ne
demektir?

Cevap

A kümesinden B kümesine tanımlanan (A ve B
boştan farklı olmak üzere) bir f fonksiyonu için A
kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine ise
fonksiyonun değer kümesi adı verilir.


2. Soru

Tanım kümesinden alınan bir elemanın f fonksiyonu
altında değer kümesinde eşlediği elemana ne denir?

Cevap

f fonksiyonunun tanım kümesindeki herhangi bir
a elemanını, değer kümesinde eşlediği elemana, a’nın
f altındaki görüntüsü denir ve f(a) ile gösterilir.


3. Soru

Bir f : A → B fonksiyonu için, fonksiyonun görüntü
kümesi ne demektir?

Cevap

f : A → B fonksiyonu için, A kümesindeki
elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu
kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A)
olarak gösterilir. Bu küme aynı zamanda aşağıdaki küme
ile ifade edilir:
                       f {A} = {f (a)|a ∈ A}


4. Soru

Sabit fonksiyon ne demektir?

Cevap

f : A → B fonksiyonu A kümesinin her elemanını
B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f ’ye sabit
fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle c ∈ B olmak üzere, A kümesinden alınan
her a elemanı için, f (a) = c ise f’ye sabit fonksiyon
denir.


5. Soru

Bire-bir fonksiyon nedir?

Cevap

Verilen bir f : A → B fonksiyonu için;
X1 , X∈ A olmak üzere,
X1  ≠  X2 iken f(X1 ) ≠ f( X2) oluyorsa,
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.
Bu tanım aynı zamanda f (X1) = f( X2) iken X1  X2
oluyorsa şeklinde de okunabilir. Bu koşul sağlanıyorsa da
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.


6. Soru

Örten fonksiyon ne demektir?

Cevap

f : A → B fonksiyonu verilsin.
Her b ∈ B için, f (a) = b olacak şekilde bir a ∈ A varsa,
f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
Bu tanıma denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine
eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle, f : A → B fonksiyonu için;
f (A) = B oluyorsa, f örten bir fonksiyondur.


7. Soru

f : A → B ve g: A → B gibi iki fonksiyonun eşit olması
için gereken şart nedir?

Cevap

Verilen f ve g fonksiyonlarının eşit olması için
tanım kümesinden alınan her a elemanı için;
f a = g(a) oluyorsa,
f ve g fonksiyonları eşittir denir.


8. Soru

Tanımlanan bir f : A → A fonksiyonu için, “f, A
kümesinin birim fonksiyonudur” diyebilmemiz için hangi
şartı sağlamalıdır?

Cevap

f : A → A  fonksiyonu A kümesinin her a
elemanını yine a ile yani kendisiyle eşliyorsa, f ’ye A
kümesinin birim fonksiyonu denir.
Birim fonksiyon genelde f yerine I ile ya da tanım
kümesini belirtmek için Iile gösterilir.


9. Soru

f : A → B  fonksiyonun ters fonksiyonu ne anlama
gelir?

Cevap

Verilen f : A → B  fonksiyonu için f-1 : B → A   ters
fonksiyonu b ∈ B için f-1  (b) = a olarak tanımlanır.
Burada a, f (a) = b koşulunu sağlayan yegane elemandır.


10. Soru

f : A → B fonksiyonun ters fonksiyonu olabilmesi için
fonksiyonun sahip olması gereken özellikler nelerdir?

Cevap

Verilen f : A → B fonksiyonun, bire-bir ve örten
fonksiyon olması gerekmektedir.


11. Soru

f : A → B fonksiyonun örten olmaması ters
fonksiyonun tanımlanmasında ne gibi bir soruna yol açar?

Cevap

f : A → B fonksiyonu örten değilse o zaman B
kümesinde, A kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü
olarak ortaya çıkmayan en az bir eleman vardır.


12. Soru

f : A → B fonksiyonun bire-bir olmaması ters
fonksiyonun tanımlanmasında ne gibi bir soruna yol açar?

Cevap

f : A → B fonksiyonu bire-bir değilse A
kümesinde a1  ve  a  gibi öyle farklı iki eleman vardır ki,
bunların görüntüleri aynı b elemanı olur. Bu durumda
seçilecek eleman keyfi olacaktır.


13. Soru

f : A → B  fonksiyonu ile g : B → C   fonksiyonunun
bileşke fonksiyonu nasıl tanımlanır?

Cevap

Verilen f : A → B  ile g : B → C   fonksiyonlarının
bileşkesi g º f : A → C   dir.
Bir a ∈ A için;
(g º f )(a) = g(f (a) ) fonksiyonuna,
f ile g fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.


14. Soru

f : A → B  fonksiyonu bire-bir ve örten olsun. Bu
durumda f ’nin ters fonksiyonu olan f-1 : B → A
fonksiyonu ile bileşkesi hangi özel fonksiyon olur?

Cevap

f : A → B  bire-bir ve örten fonksiyonu için;

f-1  º f = I
ve
f º f-1 = IB olur.

Yani birim fonksiyondur.


15. Soru

f : R → R mutlak değer fonksiyonu nasıl ifade edilir?

Cevap

Parçalı tanımlı bir şekilde aşağıdaki gibi ifade
edilir:
f (x) = |x| = { -x, x ≤ 0 ise

                        x, x > 0 ise


16. Soru

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların toplamı nasıl ifade edilir?

Cevap

a ∈ A olmak üzere;
             f + g : A → R
     (f + g) (a) = f (a) + g(a)
            olarak tanımlanır.


17. Soru

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların farkı nasıl ifade edilir?

Cevap

a ∈ A olmak üzere ;
                   f - g: A  R
             (f - g)(a) = f (a) − g(a)
                olarak tanımlanır.


18. Soru

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların çarpımı nasıl ifade edilir?

Cevap

a ∈ A olmak üzere;
               f . g: A  R
        (f . g)(a) = f(a) . g(a)
            olarak tanımlanır.


19. Soru

f:RR, f(x) = 3x + 7 fonksiyonu veriliyor. Buna
göre 2f(0) − f(3) değeri kaça eşittir?

Cevap

  f(x) = 3x + 7 ifadesinde x yerine 0 yazılırsa;
                f(0) = 3 * 0 + 7
                        = 7
                 olarak elde edilir.
Benzer şekilde fonksiyonun ifadesinde x yerine 3 yazılırsa; 
                   f(3) = 3 * 3 + 7
                          = 16
                       elde edilir.
Bulunan bu değerler yerlerine yazılırsa;
             2f(0) - f(3) = 2 * 7 - 16
                      = 14 - 16
                           = -2
                    değeri bulunur.


20. Soru

f:R → R, fonksiyonu;
                f(x) = {  5 - x, x ≤ 2

Cevap

Fonksiyon ikiden küçük ya da ikiye eşit olan x
sayılarını 5 - x değeri ile eşlediğinden ve 2 ≤ 2
olduğundan f(2) = 3’tür.
Benzer şekilde, fonksiyon ikiden büyük olan x sayılarını
6 + 2x değeri ile eşlediğinden ve 4 > 2 olduğundan;                                             f(4) = 14’tür.
Sorulan f(2) - f(4) değeri olduğundan bulunan sayılar
yerine yazılırsa;
                   f(2) - f(4) = 3 - 14 = -11
                         değerine ulaşılır.


21. Soru

Verilen f:R → R, f(x) = 5x ve g:R → R, g x =
x - 7 fonksiyonları için (f º g)(x) ve (g º f)(x)
fonksiyonlarını bulunuz.

Cevap

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.
Her hangi bir x gerçel sayısı için (f º g) x = f(g x )
olduğundan;
                   (f º g) (x) = f (g (x)  )
                             = 5g (x)
                             = 5 (x - 7)
                             = 5x - 35
                         olarak bulunur.
Benzer şekilde (g º f) (x) = g(f (x) ) olduğundan;
                       (g º f) (x) = g (f (x) )
                              = f (x) - 7
                              = 5x - 7
                          olarak bulunur.


22. Soru

f:RR , f (x) = 2x + 10 ve g:RR , g(x) = 1
olsun.(f ° g)(7) ve (g ° f)(7) değerleri kaça eşittir?

Cevap

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.

(f ° g)(7) sorulduğundan ve (f ° g) (7) = f(g (7))
olduğundan;
                 (f ° g) (7) = f(g (7))
                      = 2g (7) + 10
                       = 2 * 1 + 10
                              = 12
                       olarak bulunur.

Benzer şekilde (g ° f)(7) sorulduğundan ve (g °
f) (7) = g(f (7) ) olduğundan;
                  (g ° f) (7) = g (f (7))
                           = g 24
                              = 1
                       olarak bulunur.
Görüldüğü üzere;
                (f ° g)(7) ≠ (g ° f)(7)
                     olarak bulunur.


23. Soru

R ’nin kendisiyle Kartezyen çarpım kümesi nasıl
tanımlanır?

Cevap

Sıralı sayı çiftlerinin kümesine R’nin kendisiyle
Kartezyen çarpım kümesi denir ve şu şekilde ifade edilir:
              R×R = R2 = {(x, y)|x, y ∈ R}
(x, y) sıralı ikilisinde x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni;
y’ye de ikinci bileşeni denir.


24. Soru

Kartezyen koordinat sistemini tanımlayınız.

Cevap

İki sayı doğrusunun, sıfır noktalarında dik olarak
düzleme yerleştirilmesi sonucunda kartezyen koordinat
sistemi oluşur.

Burada yataydaki sayı eksenine x ekseni ya da apsisler
ekseni, düşeydeki sayı eksenine ise y ekseni ya da
ordinatlar ekseni denir. Ayrıca sayı doğrularının
kesiştikleri noktaya başlangıç noktası adı verilir.


25. Soru

f: A ⊆ R → R fonksiyonunun grafiği nasıl tanımlanır?

Cevap

f: A ⊆ R → R fonksiyonu verilsin.

A kümesinin her bir x elemanı için x ile onun görüntüsü
olan f(x) ’in oluşturduğu (x, f(x)) sıralı ikililerinin
kümesine f’nin grafiği denir ve bu küme Gf ile gösterilir:
                    Gf = { (x, f (x) | x ∈ A) }


26. Soru

Düzlemde iki noktadan kaç doğru geçer?

Cevap

Düzlemde bir noktadan sonsuz çoklukta doğru
geçmesine karşın, farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.


27. Soru

Fonksiyon kavramını tanımlayınız.

Cevap

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A mesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinden B mesine bir f fonksiyonu, f:AB şeklinde gösterilir.


28. Soru

Görüntü kümesini tanımlayınız.

Cevap

f:AB fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f(A) olarak gösterilir. O halde f’nin görüntü kümesi, f(A)={f(a)|a?A} kümesidir.


29. Soru

Değer kümesi görüntü kümesinin alt kümesi midir?

Cevap

Hayır. Aksine görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir, çünkü görüntü kümesindeki her elaman değer kümesinde de bulunur, fakat değer kümesindeki bazı elemanlar görüntü kümesinde yer almayabilir.


31. Soru

f(x)=x+2 bire-bir fonksiyon örneği midir?

Cevap

Evet. Her bir x için bir tane x+2 değeri vardır.


32. Soru

Örten fonksiyon nedir?

Cevap

f:AB fonksiyonu verilsin. Her b?B için f(a)=b olacak şekilde bir a?A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f:AB fonksiyonu için f(A)=B ise f örtendir.


33. Soru

A pozitif tam sayılar kümesi olsun. A kümesindeki her bir x elemanı için

f(x)=2x+3 şeklinde bir fonksiyon tanımlansın. Bu f(x) fonksiyonu örten midir?

Cevap

Evet örtendir. A=(1,2,3,4....) olmak üzere B=(5,7,9,11...) kümesi f(x)=2x+3 fonksiyonunun değer kümesini oluşturur. B kümesinde açıkta kalan eleman bulunmamaktadır.


34. Soru

Sabit fonksiyon nedir?

Cevap

f:AB fonksiyonu A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f’ye sabit fonksiyon denir. Yani c?B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f(a)=c ise f’ye sabit fonksiyon denir.


35. Soru

f(x)=x, g(y)=3, h(t)=2t fonksiyonlarından hangileri sabit fonksiyondur?

Cevap

Sadece g(y)=3 sabit fonksiyondur, zira y ne olursa olsun değer kümesinde tek eleman bulunmaktadır.


36. Soru

Birim fonksiyon nedir?

Cevap

f:AA fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile eşliyor ise f’ye A kümesinin birim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için IA ile gösterilir.


37. Soru

Birim fonksiyonlar aynı zamanda birebir ve örten midir?

Cevap

Evet, birim fonksiyonlar hem birebir hem örtendir. Zira tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi aynı olduğundan, her elemanın tek bir karşılığı vardır ve açıkta kalan eleman yoktur.


38. Soru

Bileşke fonksiyon nedir?

Cevap

f:AB, g:BC fonksiyonları verilsin. Bu durumda g?f:AC,(g?f)(a)=gf(a) fonksiyonuna,f ile g fonksiyonunun bileşke fonksiyonu denir.


39. Soru

Ters fonksiyon nedir?

Cevap

f:AB, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda,f fonksiyonunun ters fonksiyonu f-1 ile gösterilir. f-1 :BA fonksiyonu b?B için f-1(b)=a olarak tanımlanır. Burada a, f(a)=b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.


40. Soru

f(x)=2x-1 ve g(x)=x2 fonksiyonları için (f+g)(2)=?

Cevap

(f+g)(x)=2x-1+x2

olacağından (f+g)(2)=7 olur.


41. Soru

x bir gerçel sayı ise f(x)=x2 fonksiyonu için değer kümesini tanımlayınız.

Cevap

f(x)=x2 olduğundan değer kümesi negatif olmayan gerçel sayılar kümesi olur.


42. Soru

f(x)=3/x fonksiyonu için değer kümesini tanımlayınız.

Cevap

x hangi değeri alırsa alsın 3/x sıfır değerini almayacaktır. Bu nedenle değer kümesi sıfır hariç tüm gerçel sayılardır.


43. Soru

Fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?..

Cevap

f : A  B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f ’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir. O halde f ’nin görüntü kümesi,

f (A) = {f (a) | a  A} kümesidir.


46. Soru

Eşit fonksiyon nedir?

Cevap

f, g : A› B fonksiyonları verilsin. Eğer tanım kümesinden aldığımız her a elemanı için, f (a) = g(a) oluyorsa, f ile g fonksiyonları eşittir.


48. Soru

f :R ›R , y = f (x) = x2+ x - 2 kuralı ile verilen fonksiyon için, x = 3’e karşlık gelen y = f (3) değerini bulunuz.

Cevap

f (x) = x2+ x -2 ifadesinde, x gördüğümüz yere 3 yazarsak

f (3) = 32+3-2 = 9+3-2 = 10 olarak buluruz.


49. Soru

f :R  ›R

f (x) = x +5 fonksiyonu örten midir?

Cevap

Görüntü kümesi değer kümesine eşit mi yani? Bunun için değer kümesinden keyfi y elemanı alıp,

f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadığına bakacağız. Aldığımız keyfi y için bu özellikte bir x varsa, fonksiyon örtendir diyeceğiz.

y = x + 5 denkleminden x = y - 5 olur. Yani x = y - 5 için f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.


Kayıt Yenileme (Ders Ekle Sil)
7 Şubat 2022 Pazartesi