İstatistik 1 Dersi 4. Ünite Sorularla Öğrenelim

1’den 10’a (10 dahil) sayılar arasından rassal olarak seçilen bir sayının 3 ile bölündüğü bilindiğine göre bu sayının 2 ile bölünme koşullu olasılığında bilinen olayın kümesi nedir?

Seçilen sayının 3 ile bölündüğü bilenen olaydır. Buna göre bu küme; B = 3,6,9 olarak bulunur.

1’den 10’a (10 dahil) sayılar arasından rassal olarak seçilen bir sayının 3 ile bölündüğü bilindiğine göre bu sayının 2 ile bölünme koşullu olasılığında olasılığı aranan olayın kümesi nedir?

Seçilen sayının 3 ile bölündüğü bilenen olaydır. Bu sayının 2 ile bölünme olasılığı arandığına göre bu küme; A={ 2,4,6,8,10} olarak bulunur.

Koşullu olasılık nedir ve nasıl gösterilir?

Bir B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının olasılığı, koşullu olasılık olarak ifade edilir ve P(A|B) = P(A ? B)/P(B),P(B)? 0 şeklinde gösterilir. Eğer A olayının gerçekleştiği bilindiğinde B olayının olasılığı, koşullu olasılık olarak ifade edilir ve P(A|B) = P(A ? B)/P(A), P(A) ? 0 şeklinde gösterilir.

Bir kişinin bir şirkete iş başvurusuna ilişkin olaylar şöyle tanımlasın: A: İşe alınması ve B: İşe alınmaması. Buna göre A ile B olayının kesişiminin olasılığı kaçtır?

A ve B olayları birlikte ortaya çıkmayacağı için bunlar ayrık olaylardır. O halde; p(A ? B) = 0 dır.

Marjinal olasılık nedir?

Herhangi bir olayı dikkate alınmaksızın sadece bir olaya ait olasılıktır.

Ayrık olayların arakesitinin olasılığı kaçtır?

A ve B ayrık olaylar ise arakesitleri boş kümedir. Buna göre ayrık olayların kesişimlerinin olasılığı; P A ? B = 0 dır.

Çarpma kuralı nedir?

Koşullu olasılık yardımıyla; P (A|B) = P(A ? B)/P(B) şeklindedir. Buna göre A ve B olaylarının arakesitinin olasılığı, P (A ? B )= P (B) . P (A |B) veya P (A ? B )= P( A ). P(B |A )olur.

Bağımsız olaylar nedir?

İki farklı olayın gerçekleşmesi birbirine bağlı değilse bu olaylara bağımsız olaylar denir

İki olayın birleşiminden oluşan olasılığa ne denir ve nasıl gösterilir?

İki olayın birleşiminin oluşan olasılığa birleşim olasılığı denir ve P(A ? B) şeklinde gösterilir?

Toplam kuralı nedir?

İki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanırken kullanılan kurala toplam kuralı denir.

Ayrık olay nedir?

İki olayın arakesiti boş küme ise olaylar ayrık olaylardır.

Koşullu olasılık nedir?

Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiğinin bilinmesi durumunda diğer bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.

Atılan bir zarın çift olduğu bilindiğine göre, zarın 5'ten küçük olması olasılığı nedir?

Zar çift olduğuna göre 2, 4 veya 6 gelmiştir. Bunlardan sadece 2 ve 4 5'ten küçük olma şartını sağladığına göre: P(x<5)=2/3

P(A/C) koşullu olasılığı neye eşittir?

P(A/C)=P(AnC)/P(C)

2 kez tura gelen bir paranın 3. kez tura gelme olasılığı nedir?

"t" turayı, "y" yazıyı göstermek üzere olasılık evreni E=(ttt, tty) olacaktır.

P(ttt)=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8

P(tty)=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8 olacağından P(E)=1/8+1/8=1/4

P(ttt/E)=(1/8)/(1/4)=1/2 olacaktır.

Marjinal olasılığı tanımlayınız.

Marjinal olasılık; herhangi başka olay dikkate alınmaksızın sadece bir olaya ilişkin olasılıktır.

Bir sınıftaki kadın ve erkek öğrencilere ilişkin dağılım aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin sarışın bir erkek olma olasılğı nedir?

Sınıfta toplam 100 öğrenci bulunmaktadır. Bu 100 kişiden 30'u sarışın erkeklerden oluşmakta olduğuna göre seçilen bir öğrencinin sarışın erkek olma ihtimali 30/100=0.3'tür.

Bir önceki soruda geçen sınıftan seçilen bir öğrencinin sarışın olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı nedir?

Sınıfta toplam 50 sarışın öğrenci bulunmakta olup bunların 30'u erkek olduğuna göre cevap 30/50=0.6'dır.

Ayrık olay ne demektir? Örnek vererek açıklayınız.

Ayrık olaylar birlikte ortaya çıkması imkansız olan olaylardır. Örneğin dolu yağması ve dolu yağmaması, bir kişinin yaşlı olması ve bebek olması, bir sayının çift olması ve tek olması gibi...

Çarpma kuralı nedir?

P (A ?B)=P (B) *P (A|B) veya P (A ?B)=P (A) *P (B|A)dir. Buna çarpma kuralı adı verilir.

P (B)=0.40 ve P (A|B)=0.50 değerleri veriliyor ise A ve B olaylarının bileşik olasılığı kaçtır?

P (A ?B)=P (B) P (A|B)=0.4*0.5=0.2

Bir torbada 8 mavi, 6 kırmızı top vardır. Yerine konmaksızın arka arkaya çekilen iki toptan ilkinin kırmızı, ikincinin mavi olma olasılığı nedir?

ilk topun kırmızı gelme olasılığı=6/14 tür

ikinci topun mavi gelme olasılığı=8/13'tür (zira torbada artık 8'i mavi 13 top vardır).

O zaman aradığımız olasılık 6/14*8/13=24/91 olacaktır.

Bir torbada 5 mavi 4 kırmızı top varsa, yerine konmaksızın arka arkaya çekilen iki topun aynı renk olma olasılığı nedir?

Aynı renk toplar olması için ya arka arkaya mavi ya da arka arkaya kırmızı top çekilmesi gerekir.

P(MM)=5/9*4/8=20/72

P(KK)=4/9*3/8=12/72

P(MM)+P(KK)=32/72=4/9

Bağımısız olay ne demektir, matematiksel olarak anlatınız, bir örnek veriniz.

P (A?B)= P(A)P(B) eşitliği geçerli ise A ve B olayları bağımsızdır denir. Döviz kurunun artması ve yağmur yağması bağımsız olaylardır.

Aynı anda atılan bir zarın 2'den büyük gelmesi ve bir paranın tura gelmesi olasılığı nedir?

Zarın ikiden büyük gelme olasılığı 4/6'dır. (3,4,5 veya 6 gelmesi gerekir)

Paranın tura gelme olasılığı ise 1/2'dir. O zaman bu iki bağımsız olayın gerçekleşmesi olasılığı 1/2*4/6=4/12=1/3'tür.

Bağımlı olay nedir?

Eğer P (A|B) ? P (A) ve P (B|A) ? P (B )ise A ve B bağımlı olaylardır. Başka bir ifade ile, P (A?B) ? P (A) P (B)ise Ave B bağımlı olaylardır.

Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 erkek, erkek öğrencilerin % 25i, kız öğrencilerin ise % 50si gözlüklüdür. Seçilen bir öğrencinin gözlüksüz olduğu biliniyorsa kız öğrenci olma olasılığı nedir?

Sınıfta 100 öğrenci olduğunu varsayalım. Bu durumda 60 erkek ve 40 kız öğrenci olacaktır. Kızların yarısı gözlüklü olduğuna göre 20 gözlüklü kız öğrenci bulunur. Yine erkek öğrencilerin 1/4ü gözlüklü olduğuna göre 15 gözlüklü erkek öğrenci bulunur. öyleyse sınıftaki öğrencilerin dağılım tablosu aşağıdaki gibi olur.

 Gözlüksüz 65 öğrenci bulunmakta ve bunların 20si kız öğrenci olduğuna göre:

P(Kız/Gözlüksüz)=20/65=4/13

İki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanırken hangi kural kullanılır?

İki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanırken kullanılan kurala toplama kuralı denir. Toplama kuralı şu şekilde ifade edilebilir: A ile B olaylarının birleşimininolasılığı, A’nın olasılığı ve B’nin olasılığı toplamından A ve B’nin kesişiminin olasılığı çıkartılarak elde edilir. Toplama kuralıP (A?B)= P (A)+P (B) – P (A?B)şeklinde ifade edilir. A?Bolayının olasılığı başka bir ifade ile Aveya Bolaylarından en az birinin ortaya çıkması olasılığıdır.

1 ile 100 arasındaki bir sayının (1 ve 100 dahil) 3'e kalansız bölündüğü biliniyorsa, bu sayının 5'e de kalansız bölünme olasılığı nedir?

1-100 aralığında 3'e bölünen 33 sayı vardır (3,6,9,12.....99), bunlardan hem 3 hem 5in katı olanlar 15,30,45,60,75 ve 90 sayılarıdır. Yani bu 33 sayıdan 6'sı 5'e de kalansız bölündüğünden aradığımız olasılık 6/33=2/11'dir.

Bir sınıftaki öğrencilerin % 40'ı sarışın, % 30'u ise erkektir. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek veya sarışın olma ihtimali nedir?

Sarışın olmak ve erkek olmak bağımsız olduğuna göre bu iki olayın kesişiminin olasılığı çarpımlarına eşittir. Yani bu sınıfta birinin hem sarışın hem erkek olma olasılığı: P(EnS)= 0,4*0,3=0,12 dir.

P(EuS)=P(E)+P(S)-P(EnS)=0,4+0,3-0,12=0,58 olur.