Matematiksel İktisat Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim

f(x,y)=2xy-3x+5y-1 fonksiyonu için f(1,2)=?

f(1,2)=2*1*2-3*1+5*2-1=4-3+10-1=10

f(z,y)=2xy/(4-x²) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?

Bir kesirin paydasının sıfır olması durumunda kesir tanımsız olur. Bu nedenle x=2 ve x=-2 değerleri için f(x,y) tanımsızdır. Öyleyse tanım kümesi x=2 ve x=-2 hariç tüm (x,y) ikilileridir.

z=3x²+2xy-6y²+5 fonksiyonu için dz/dx ve dz/dy kısmi türevlerini hesaplayınız.

dz/dx=6x+2y

dz/dy=2x-12y

z=3x²+2xy-6y²+5 fonksiyonu için fxx, fyy, fyx ve fxy ikinci dereceden kısmi türevlerini bulunuz.

fx=6x+2y     fxx=6       fxy=2

fy=2x-12y    fyy=-12    fyx=2

Bir mal için talep fonksiyonu q=400-3p² şeklinde ise p=10 için talebin fiyat esnekliğini hesaplayınız.

Talebin fiyat esnekliği=(dq/dp)*(p/q) olduğuna göre

p=10 için dq/dp=-6p=-60 ve q=400-3p²=400-300=100 ve p/q=10/100=0.1 olduğundan esneklik=-60*0.1=-6 olacaktır

X malı için talep fonksiyonu q=300-20Px+30Py+0.01Y şeklinde verilmiş olsun. Px=10 Py=5 ve Y=10000 iken X malı için talebin fiyat esnekliği, gelir esnekliği ve çapraz fiyat esnekliğini hesaplayınız.

Önce fiyat esnekliğini hesaplayalım. Px=10, Py=5 ve Y=10000 için:

q=300-20*10+30*5+0.01*10000=300-200+150+100=350

dq/dPx=-20 olduğundan esneklik=(dq/dPx)*(Px/q)=-20*10/350=-4/7 olur.

Şimdi de çapraz fiyat esnekliğini hesaplayalım:

dq/dPy=30 olduğundan çapraz fiyat esnekliği=(dq/dPy)*(Py/q)=30*5/350=3/7 olur.

Son olarak gelir esnekliğini hesaplayalım:

dq/dY=0.01 olduğundan gelir esnekliği=(dq/dY)*(Y/q)=0.01*10000/350=100/350=2/7 olur.

Bir tüketicinin fayda fonksiyonu U=x^0.6y^0.4 şeklinde verilmişse X ve Y malları için Ux ve Uy marjinal fayda fonksiyonlarını bulun.

Ux=dU/dx=0.6(y/x)^0.4

Uy=dU/dy=0.4(x/y)^0.6

Bir önceki sorudaki tüketici için fayda fonksiyonunun eğimini bulun (dy/dx)

dy/dx=-Ux/Uy=(0.6(y/x)^0.4)/(0.4(x/y)^0.6)=-3y/2x

Bir üretim fonksiyonunun homojen olmasının koşulu nedir?

Q= ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n sayısı için ƒ(?K, ?L) = ?ⁿƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen olduğu söylenir.

Ölçeğe göre getiri ve homojenlik arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

Q= ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n sayısı için ƒ(?K, ?L) = ?ⁿƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen olduğu söylenir. n= 1 ise fonksiyon ölçeğe göre sabit getiri sergiler. Yani girdilerdeki artış oranı ile çıktıdaki artış oranı aynıdır. n< 1 ise fonksiyon ölçeğe göre azalan getiri sergiler. Yani girdiler belli bir oranda arttırıldığında, çıktıdaki artış bundan daha az olur. n> 1 olduğunda fonksiyon ölçeğe göre artan getiri sergiler. Yani girdiler belli bir oranda arttırıldığında, çıktıdaki artış, bundan daha fazla olur.

F(K,L)=K^0.7L^0.3 üretim fonksiyonu homojen midir?

Homojen olup olmadığını anlamak için F(aK, aL) fonkisyonunu F(K,L) fonksiyonu cinsinden yazalım:

F(aK,aL)=(aK)^0.7(aL)^0.3=a^0.7a^0.3K^0.7L^0.3=aK^0.7L^0.3=aF(K,L) olduğundan bu üretim fonksiyonu homojendir.

F(K,L)=KL fonksiyonu homojen midir? Homojense kaçıncı dereceden homojendir?

F(aK,aL)=(aK)(aL)=a²KL==a²F(K,L) olduğundan 2. dereceden homojendir.

F(K,L)=K^0.7L^0.3 üretim fonksiyonu için emeğin ve sermayenin marjinal ürünlerini hesaplayınız. Emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürünü artmakta mıdır?

Emeğin marjinal ürünü: MPK=dF/dK=0.7(K/L)^0.3 olur. Emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürününün azalması için ikinci dereceden türevin negatif olması gerekir. Yani F_LL<0 olmalıdır.

F_LL=dMPL/dL=-0,21K^0.7L^-1.3<0 olduğundan, evet emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürünü azalmaktadır.

Sermayenin marjinal ürünü: MPL=dF/dL=0.3(L/K)^0.7

F(K,L)=K^0.7L^0.3 üretim fonksiyonu için marjinal teknik ikame oranını hesaplayınız. Emek miktarı arttıkça marjinal teknik ikame oranı artar mı azalır mı?

Marjinal teknik ikame oranı: MRTS=dK/dL=(dF/dL)/(dF/dK) olduğundan bu fonksiyon için marjinal teknik ikame oranı:

MRTS=(dF/dL)/(dF/dK)=(0.3(K/L)^0.7)/(0.7(K/L)^0.3)=(3/7)(K/L)=3K/7L olur. Bu durumda L arttıkça payda büyüyeceğinden kesirin değeri küçülmekte, yani emek miktarı arttıkça marjinal teknik ikame oranı düşmektedir.

P bir ürünün fiyatını, r birim sermayenin kira bedelini, w birim işçilik ücretini belirtmek üzere üretim fonksiyonu F=KL olan bir mal için kar fonksiyonunu emek ve sermayenin çok değişkenli bir fonksiyonu olarak yazınız.

Kar=Satış Hasılatı-Toplam Maliyet

Kar=PQ-rK-wL=PKL-rK-wL

Cobb-Douglas tipi bir üretim fonksiyonu için ölçeğe göre getiri koşullarını yazınız.

Q=AK^aL^b şeklinde tanımlı bir Cobb-Douglas üretim fonksiyonu için:

Eğer a+b<1 ise ölçeğe göre azalan getiri;

eğer a+b=1 ise ölçeğe göre sabit getiri,

eğer a+b>1 ise ölçeğe göre artan getiri geçerlidir.

Ölçeğe göre azalan getirili bir üretim fonksiyonu örneği yazınız

Q=K^0.4L^0.3 ölçeğe göre azalan getiriye sahip bir üretim fonksiyonudur zira 0.3+0.4=0.7<1. Yani, örneğin, emek ve sermaye iki katına çıkarıldığında ürün miktarı 2 katına çıkmayacak, 2 kattan daha düşük olacaktır.

Ölçeğe göre artan getirili bir üretim fonksiyonu yazınız.

Q=2KL ölçeğe göre artan getirilidir. Zira, emek ve sermaye miktarı, örneğin 3 katına çıkarıldığında ürün miktarı 9 katına çıkmaktadır.

Fayda fonksiyonu nedir?

Fayda fonksiyonu, tüketilen mal miktarlarının bir fonksiyonu olarak tüketiciye sağlanan tatmindir.