Güç Sistemleri Analizi Dersi 6. Ünite Özet

Giriş

Üç-fazlı, dengeli ve yatışkın-durum koşulları altında enerji sistemlerinde hesaplanan güç akışı, şu durumlarda geçerliliğini korur:

• Jeneratörlerin, şebekeye bağlı tüm yük taleplerini ve iletim hatlarındaki toplam güç kaybını karşıladıkları kabul edilir.
• Bütün baralara ait gerilim genliklerinin, nominal gerilim sınırları içerisinde olduğu varsayılır. • Jeneratörlerin, kendilerine ait güç sınırlarını aşmadıkları kabul edilir.
• Transformatör ve iletim hatlarının, aşırı yüklenmedikleri varsayılır.

Güç akışını hesaplamak için kullanılan algoritma ya da program sona erdiğinde, şebekedeki baralara ait gerilim genlikleri, gerilim açıları, baralardan ve iletim hatlarından akan aktif ve reaktif güçler ve toplam güç kaybı hesaplanmış olur. Bilinen devre denklemleri ile güç akışı hesaplaması yapılamaz. Aktif ve reaktif güç terimleri kullanıldığı için bu denklemler lineer olmayan denklemlerdir. Güç akışı hesaplamalarında kullanılan yöntemlerden ikisi Gauss Seidel ve Newton-Raphson yöntemleridir.

Lineer Cebir Denklemlerinde Doğrudan Çözümler: Gauss Elemesi Yöntemi

Ax = y eşitliği kullanılarak lineer denklem kümeleri matris formatında ifade edilebilirler. Burada x ve y; N ×1 boyutlu vektörler ve A ise N × N ’lik kare matristir. x, y ve A ’nın elemanları gerçek yada kompleks sayı olabilir. A ve y’nin bilinen verileri kullanılarak x bilinmeyen vektörünün çözümü yapılır. A matrisinin determinantının sıfır olmadığı farz edilirse denklem için sadece bir çözüm vardır.

A matrisi; sıfırdan farklı köşegen elemanlarla üst-üçgensel matris formatında olduğu zaman, x ’in çözümü kolayca elde edilebilir. Buna göre en alt satırda yer alan son denklem sadece N x ’i içerdiğinden N x değeri kolayca hesaplanır. N x hesaplandıktan sonra artık bilinen bu değer bir üst satırda yerine yazılır ve sondan bir önceki satırdaki denklem kullanılarak N-1 x hesaplanır. Sürekli olarak bu şekilde geriye doğru giderek daha önce hesaplanan değerler yerine yazılmak suretiyle çözüm gerçekleştirilir. Çözüm için kullanılan bu yönteme geriçıkarım adı verilmektedir. Eğer ki A matrisi üst-üçgensel değilse, ilgili denklem üst-üçgensel matris ile eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir. Gauss elemesi adı verilen bu dönüşüm (N-1) basamakta gerçekleştirilir.

Gauss elemesi ve geri-çıkarım için bilgisayar tarzı matematik işlemcilerin A için N2 hafıza adresine, y için N hafıza adresine gereksinimi vardır. Tekrarlanan döngüler, aritmetik ifadeler ve çalışma alanları için ek hafıza gereklidir. Bilgisayar zaman gereksinimleri; Gauss elemesi ve geri-çıkarımlar için gerekli olan aritmetik uygulamaların belirlenmesiyle hesaplanabilir.

Gauss elemesi; (N ³ - N) / 3 çarpım, (N)(N -1) / 2bölme ve (N ³ - N) / 3 çıkarma işlemi gerektirir. Geri-çıkarım işlemi ise; (N)(N -1) / 2 çarpım, (N)bölme ve son olarak (N)(N -1) / 2 çıkarma işlemi gerektirir. Bu yüzden ilgili lineer denklemin Gauss elemesi ve geri-çıkarım yöntemleriyle çözülebilmesi için gerekli olan yaklaşık zaman (N3 ) / 3 çarpma ve (N ³ ) / 3 çıkarma işlemiyle doğru orantılıdır.

Güç akışı problemlerinin birçok baradan oluşan güç sistemleri içinde, on binlerce çözüm içermesinden dolayı, Gauss eleme yöntemi tek başına iyi bir çözüm sunamamaktadır.

Lineer Cebir Denklemleri İçin Tekrarlı Çözümler: Jacobi ve Gauss-Seidel Yöntemleri

Genel olarak lineer cebir denklemleri için tekrarlı çözümler gerçekleştirilirken şu yöntem izlenir: İlk olarak tahmini bir x(0) başlangıç değeri seçilir. Öncelikle bu başlangıç değeri tekrarlı denklemde (S:155, Denklem 6.10) yerine yazılarak x(1) yani 1. tahmin değeri hesaplanır. Bu şekilde devam edilerek x(2), x(3), …, x(K) tahmin değerleri elde edilir. İlgili tekrarlı prosedürün sonlandırılması için bitirme, durma şartının (S:155, Denklem 6.11) sağlanması gerekmektedir. Burada yer alan ? tolerans derecesi olarak adlandırılır.

Çözüme ulaşmak için aşağıdaki soruların cevaplarına ihtiyaç duyulur:

• Tekrarlama prosedürü tek bir çözüme yakınsayacak mıdır?
• Yakınsama oranı nedir? (kaç tane tekrarlama gereklidir?)
• Sayısal bilgisayar kullanıldığında; depolama ve zaman gereksinimleri ne olacaktır?

Bu soruların cevabı bizlere; Jacobi ve Gauss-Seidel adındaki iki farklı çözüm yöntemini işaret eder. Jacobi yönteminin diğer adı Gauss yöntemidir.

Jacobi (Gauss) Yöntemi: Bu yöntem lineer denklemin k’ıncı denklemi düşünülerek çıkarılmıştır. Jacobi yöntemi açık olarak ifade edilebileceği gibi (S:155, Denklem 6.14), matris formunda da (S:155, Denklem 6.15 ve 6.16) yazılabilmektedir. Bu denklemlerde yer alan D matrisi (S:156, Denklem 6.17), A matrisinin köşegen elemanlarını içerir.

Gauss-Seidel Yöntemi: Bu yöntemin açık olarak verilen ifadesi (S:157, Denklem 6.18) Gauss yöntemiyle karşılaştırıldığında, Gauss-Seidel yöntemindeki tekrarlama sırasında sağ tarafta kullanılan yeni değerlerin xn ( i+1), n < k, sol tarafta kullanılan yeni değerleri xk ( i+1) üretmesi dışında her iki yöntem de birbirine benzerdir. Diğer bir ifadeyle, Gauss-Seidel yönteminin Gauss yönteminden tek farkı; aynı tekrar içinde elde edilen herhangi bir değişken değerinin, bir sonraki değişkenle ilgili denklemde, diğer tekrarı beklemeden yerine konmasıdır. Bu durum, yakınsama tekrar sayısını Gauss yöntemine göre azaltmaktadır. Öte yandan Gauss-Seidel yöntemi için Gauss yönteminden farklı olarak D matrisi, A matrisinin alt-üçgensel kısmı olmaktadır. Gauss-Seidel yönteminin yakınsama hızı bazı A matrisleri için Jacobi’ye göre daha hızlı iken, diğer bazı A matrisleri için Jacobi yönteminin yakınsama hızı Gauss- Seidel’e göre daha hızlı olabilmektedir. Bazı durumlarda ise bir yöntem sonuca yakınsarken diğeri çözümden uzaklaşabilmektedir.

Lineer Olmayan Cebirsel Denklemler İçin Tekrarlı Çözümler: Newton-Raphson Yöntemi

Lineer olmayan denklemlerin kümesi f(x) = y olarak matris formunda ifade edilir. Burada, y ve x terimleri N vektörü ve f (x) de fonksiyonların N vektörüdür. Değerleri bilinen y ve f (x) kullanılarak; bizden x’in çözümü istenmektedir. Daha önce açıklanan lineer denklemler için verilen tekrarlı yöntemler, lineer olmayan denklemler için genişletilebilir. Sonuçta elde edilen matris formunda verilen denklem (S:159, Denklem 6.25) Jacobi ve Gauss-Seidel yöntemleriyle özdeştir. Lineer olmayan denklemler için D matrisinin belirtilmesi gerekir. D matrisinin belirtilmesi için kullanılan yönteme Newton-Raphson yöntemi adı verilir. Bu yöntemin temeli; f(x) fonksiyonunu x0 noktası etrafında Taylor serisine açmaktır (S:159, Denklem 6.26).

Elemanları kısmi türevli olarak gösterilen NxN’lik J matrisi Jacobian matrisi olarak adlandırılır (S:159, Denklem 6.29). D matrisinin yerini J(i)’ nin almasının haricinde, Newton-Raphson metodu genişletilmiş GaussSeidel yöntemi ile benzerdir.

Newton-Raphson yönteminin ifadesinde (S:159, Denklem 6.28) J matrisinin tersi olan J-1 matrisi yer almaktadır. J-1 matrisini hesaplamak yerine ilgili denklem farklı bir şekilde yeniden yazılmaktadır (S: 161, Denklem 6.30, 6.31 ve 6.32). Çözüm için; bu noktadan sonraki her bir tekrarda şu dört basamakta yer alan işlemler gerçekleştirilir:

1. basamak: ?y(i)’yi hesapla (S:161, Denklem 6.32)
2. basamak: J(i)’yi hesapla (S:159, Denklem 6.29)
3. basamak: Gauss elemesi ve geri-çıkarım kullanarak ?x(i)’i elde et (S:161, Denklem 6.30)
4. basamak: x(i +1)’i hesapla (S:161, Denklem 6.31)

Mevcut tecrübeler göstermektedir ki; Gauss-Seidel ve Jacobi yöntemlerinin çözümden ıraksadığı pek çok durumda Newton-Raphson yöntemi çözüme yakınsamaktadır. Buna ilave olarak Newton-Raphson yönteminde yakınsama için gerekli olan tekrarlama sayısı N boyutundan bağımsızdır. Ancak; Jacobi ve Gauss-Seidel için durum farklıdır ve N boyutu büyüdükçe tekrarlama sayısı da artar. Newton-Raphson ile çözülen güç akışı problemlerinin çoğu 10 tekrarlamadan daha az sayılarda çözüme yakınsar.

Güç Akışı Problemi Güç akışı problemi; dengeli 3-fazlı ve yatışkın durumdaki güç sistemlerinde, her bir bara üzerindeki gerilim büyüklüğünün ve faz açısının hesaplanmasıdır. Bu hesaplamanın sonucunda; iletim hattı ve trafolar gibi şebeke elemanlarındaki aktif ve reaktif güç akışları bulunur ve elemanlar üzerindeki güç kayıpları hesaplanır.

Her bir k barası, dört farklı değişken ile ilişkilendirilir. Bu değişkenler; Vk gerilim genliği, ?k faz açısı, Pk net gerçek güç ve Qk reaktif güç olarak ifade edilir. Her bir barada, bu değişkenlerden iki tanesi giriş verisi olarak kabul edilir ve diğer bilinmeyen veriler güç akışı yardımıyla hesaplanır. Hesaplamalarda ve gösterimde kolaylık olması açısından; k barasına iletilen güç, jeneratör ve yük terimleri olarak iki kısma ayrılmıştır (S:163, Şekil 6.1). Her bir k barası aşağıda yer alan üç farklı bara tipinden birine göre sınıflandırılır:

1. Salınım barası: Sistemde sadece bir adet salınım barası bulunur ve genellikle hesaplamalarda 1 sayısı ile numaralandırılır. Salınım barası aynı zamanda referans barasıdır ve üzerindeki V1 ? ?1 giriş verisi 1,0 ? 0° br olarak alınır. Güç akışı sonunda, P ₁ ve Q ₁ değerleri hesaplanır.
2. Yük (PQ) barası: P _k ve Q _k değerleri giriş verileridir. Sistemdeki çoğu bara genellikle bu bara tipindedir. Güç akışı sonunda, Vk ve ?k değerleri hesaplanır.
3. Gerilim kontrollü (PV) bara: P _k ve V _k değerleri giriş verileridir. Sistemdeki jeneratörlerin, anahtarlamalı şönt kapasitörlerin ve statik VAR sistemlerin bağlı olduğu baralar, gerilim kontrollü bara sınıfına girerler. Güç akışı sonunda, Qk ve ?k değerleri hesaplanır. Ayrıca dikkat edilmesi gereken diğer bir nokta; eğer k barası üretim olmayan bir yük barası ise P _k = - PL _k olur ve bu durum, k barasına sağlanan gerçek gücün negatif olduğu anlamına gelir. Aynı şekilde; eğer yük, endüktif ise Q _k = - QL _k olur. Pk ve Q _k ’nin hesaplanmasına yönelik elde edilen denklemler (S:164, Denklem 6.44 ve 6.45), lineer olmayan güç akışı problemlerine Newton-Raphson yaklaşımıyla çözüm getirirler.

Gauss-Seidel Yöntemi ile Güç Akışı Çözümü

I =Y _bara V düğüm denklemleri, Gauss-Seidel kullanılarak çözülen y = A _x denklemine benzer lineer denklemler kümesidir. Güç akışındaki bara verileri; yük baraları için P _k ve Q _k ’yı veya gerilim kontrollü baralar için P _k ve V _k ’yı içerdiğinden, düğüm denklemleri lineer denklem tipine tam olarak uymaz. Akım kaynağı vektörü I, bilinmeyendir ve denklemleri lineer değildir. Gauss-Seidel yöntemi kullanılarak güç akışı çözümünü elde etmek için GaussSeidel yöntemi her bir yük barası için elde edilen Ik ile düğüm denklemlerine uygulanmaktadır (S:164, Denklem 6.47).

Newton-Raphson Yöntemi ile Güç Akışı Çözümü

Gerçek ve reaktif güce yönelik olarak verilen denklemler (S:164, Denklem 6.42 ve 6.43), Newton-Raphson yöntemi kullanılarak çözülen y = f (x) denklemine benzer lineer olmayan denklemlerdir. Güç akışı çözümü için gerekli olan x ,y ve f vektörleri uygun şekilde tanımlanır (S:165, Denklem 6.49). Burada kullanılan V, P ve Q terimleri birim değer ve ? açısı ise radyan cinsinden gösterilir. Salınım barasına ait olan V1 ve ?1 değişkenlerinin değerleri bilindiği için bu değişkenler ilgili denklemden çıkarılmıştır. Güç akışı problemleri için elde edilecek olan Jacobian matrisi J, dört farklı blok olarak ayrıştırılabilir. Bu bloklar J1, J2, J3 ve J4 olarak gösterilmektedir. Daha önce ifade edildiği üzere, J matrisinin tersini almak yerine 4 adımda gerçekleştirilen işlemler güç akışı probleminin parametrelerine uygun olarak uygulanmakta ve hesaplamalara devam edilmektedir.

Güç akışı problemlerinden elde edilen tecrübeler göstermektedir ki, Jacobi ve Gauss-Seidel yöntemlerinin çözüme ıraksadığı birçok durumda Newton-Raphson yöntemi çözüne yakınsamaktadır. Ayrıca; NewtonRaphson yönteminde yakınsama için gerekli olan tekrarlama sayısı N bara sayısından bağımsız iken, Jacobi ve Gauss-Seidel yöntemlerinde bu sayısı N kadar artmaktadır. Jacobi ve Gauss-Seidel yöntemlerinin bilgisayarda kullanılan hafıza ve düşük hesap yetenekleri bakımından avantajı olmasına rağmen, günümüz teknolojisi ile Newton-Raphson yöntemi diğer Jacobi ve Gauss-Seidel’e göre daha çok tercih edilir ve bu yöntemle güvenilir hesaplamalar yapılır.

Hızlı Ayrışık

Güç akışı hesabı yapılırken yöntem olarak NewtonRaphson seçilmişse, sistemin büyümesi Jacobian matrisini de oldukça büyütür. Böylece, bilgisayarın hafıza gereksinimi artar ve yöntemin sonuca yakınsama zamanı uzar. Hızlı ayrışık güç akışı yöntemleri bu olumsuzlukları azaltmak için geliştirilmiştir.

Güç akışı yönteminde kullanılan Jacobian matrisi içinde, Q-? ve P -V arasındaki zayıf ilişki sebebiyle, hızlı ayrışık güç akışı yönteminde J2 ve J3 alt matrisleri ihmal edilir. Böylece yöntem hem hızlanır hem de bilgisayarın bellek gereksinimi azalır. Yöntemin daha da hızlandırılması için Vk ? Vn ?1 br kabul edilerek ?k ? ?n alınabilir. Son kabuller uygulandıktan sonra J1 ve J4 sabit matris özelliği kazanır. Bu durumda Newton-Raphson yönteminde her tekrarlamada Jacobian matrisinin tekrar tekrar hesaplanması gerekmez ve böylece yöntemin yakınsama hızı artar. Bu yaklaşım, ihmallerin olmadığı önceki yaklaşıma göre yaklaşık sonuçlar üretirler ama zamanın önemli olduğu durumlarda ufak hatalara göz yumulabilir. Güç Akışı Kontrolü Enerji sistemlerinde güç akışını ve iletilen enerjinin kontrolünü sağlayan çeşitli şebeke elemanları mevcuttur. Güç akışı genel olarak aşağıdaki üç şekilde kontrol edilir;

• Jeneratörlerin uyartım kısımlarının kontrolü
• Şönt kapasitör, şönt reaktör ve statik VAR sistemlerin anahtarlanması
• Regüleli ve kademe değiştiricili transformatörlerin kontrolü

? güç açısı arttıkça gerçek güç değeri de artmaktadır (S:168, Denklem 6.60). Şebeke işlemi olarak düşünüldüğünde; uyartım gerilimi sabit tutularak jeneratörün giriş gücü türbin vasıtasıyla yükseltilirse, jeneratöre ait rotorun dönüş hızı artar. Öte yandan Q reaktif güç çıkışında da azalma meydana gelir (S:168, Denklem 6.61). ? güç açısının 15°’den düşük olduğu durumlarda; P ’deki artış, Q’daki azalıştan çok daha fazladır. Güç akışı açısından düşünüldüğünde; türbin gücünün artışı, jeneratörün bağlı olduğu sabit gerilim barasında P artışına sebep olur. Güç akışı, Q ’daki küçük değişiklikle beraber ? güç açısındaki artışı hesaplar. Eg uyartım geriliminin artmasıyla Q reaktif güç çıkışı da artmaktadır (S:168, Denklem 6.61). P gücünü sabit tutabilmek için Eg artışının ? güç açısında küçük değişimler meydana getirdiği görülmektedir. Güç akışı açısından düşünüldüğünde; jeneratörün uyartım gerilimindeki artış, jeneratörün bağlı olduğu sabit gerilim barasındaki gerilimin genliğini arttırır. Güç akışı, jeneratör tarafından sağlanan Q reaktif güç çıkışındaki artışı ? güç açısındaki küçük değişime göre hesaplar.