Genel Matematik Dersi 7. Ünite Sorularla Öğrenelim

Türev nedir?

Bir niceliğin bir başka niceliğe göre değişim oranını belirten kavramdır.

İvmenin türev ile bağlantısı nedir?

Hız fonksiyonunun zamana göre türevi veya konum fonksiyonun iki kez zamana göre türevi bize ivmeyi verir. Yani ivme birim zamandaki hızın değişimidir.

Verilen bir f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası
ne demektir?

Eğer f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu x₀ noktasının komşuluğundaki her x değeri için f(x₀) ≤ f(x) oluyorsa,  x₀ noktasına f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası denir.

Artan fonksiyon ne demektir?

Bir fonksiyonun tanım kümesinden alınan keyfi x₁ ve x₂ noktaları için, x₁< x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f(x) fonksiyonuna artan fonksiyon denir.

Gelir fonksiyonu f: [0,100] → R, f(x) = 100x – x² olan bir maldan elde edilebilmesi için kaç adet satılması gerekir hesaplayınız ve grafik üzerinden gösteriniz?

f(x) = 100x – x²  ise f ’(x) = 100 – 2x olarak hesaplanır.

En çok gelir elde etmek için türevin sıfır olduğu noktayı bulmak gerekir.

f ’(x) = 100 – 2x = 0 ise x = 50 olur.

f ''(x) = -2 olduğundan x = 50  noktası yerel maksimum noktasıdır. Dolayısıyla en fazla gelir için 50 adet satılmalıdır.

Bir fonksiyonun yatay teğetler ne demektir, açıklayınız?

f(x) fonksiyonunun extremum noktalarında çizilen teğetlerine yatay teğetleri denir. Bu noktalarda türev sıfır olduğundan çizilen teğetler x eksenine paraleldir.

k bir sabit sayı olmak üzere  f (x) = e^kx  fonksiyonunun türevi nedir?

 f (x) = e^kx  ise f '(x) = ke^kx olarak hesaplanır.

Bir fonksiyonun ekstremum noktası ne demektir?

Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum
noktalarına ekstremum noktası denir.

Sürekli her fonksiyon türevlenebilir midir?

Hayır sürekli her fonksiyon türevlenebilir değildir.

Fonksiyonunun türevini sıfır yapan her noktaya ekstremum nokta denilebilir mi? Bir örnekle açıklayınız.

Hayır fonksiyonun türevini sıfır yapan her nokta ekstremum noktası olmak zorunda değildir.

f(x) = x⁵  fonksiyonunun türevini incelersek;

f ‘(x) = 5x⁴ olarak bulunur.

f ‘(x) = 0, x = 0 olarak bulunur.

Fakat x < 0 iken f ‘(x) > 0 ve x > 0 iken yine f ‘(x) > 0 bulunur.

Bu da bize f(x) fonksiyonunun sürekli artan olduğunu gösterir. Dolayısıyla yerel maksimum veya yerel minimum noktası yoktur.

Türev nedir?

Türev bir niceliğin bir başka niceliğe göre değişim oranını ifade eden kavramdır. Örneğin, hava sıcaklığının yere ve zamana göre değişimini; bir uçağın ya da otomobilin konumunun değişimini; elde edilecek gelirin üretilen mal miktarına göre değişimini; biraz önce bahsettiğimiz durumda ise gökcisimlerinin birbirlerine göre konumlarının değişimini ifade etmek için türev kavramından yararlanmamız gerekir.

f (x) = Inx fonksiyonunun türevi nedir?

f (x) = Inx ise f ' (x) = 1/x olarak hesaplanır.

Türeve günlük hayattan örnekler veriniz?

Hava sıcaklığının yere ve zamana göre değişimi, bir koşucunun konumunun zamana göre değişimi veya hızının zamana göre değişimi türeve örnek olarak
verilebilir.

Türevlenebilir fonksiyon ne demektir?

Eğer tanım kümesi üzerindeki her noktada fonksiyonun türevi varsa bu fonksiyona türevlenebilir fonksiyon denir.

Türevlenebilen fonksiyonlara örnekler veriniz?

f(x) = x², f(x) = 3x +5, f(x) = 3x³+ x²+1

fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlardır. 

f (x) = 3x² – 6x + 1 fonksiyonunun artan ve azalan aralıklarını türev yardımıyla bulunuz?

f (x) = 3x² – 6x + 1 ,  f ‘(x) = 6x – 6

f ‘(x) = 0 için x = 1 olarak bulunur.

Dolayısıyla x = 1 noktasının sağ ve sol tarafında f ‘(x) fonksiyonunun işaretini incelememiz gerekecektir. Dikkat edersek;

x > 1 iken f ‘(x) > 0, x < 1 iken f ‘(x) < 0 olur.

Buradan f (x) fonksiyonunun (1,∞) aralığında artan, (-∞,1) aralığında azalan olduğunu söyleyebiliriz.

Hızın türev ile bağlantısı nedir?

Konum fonksiyonunun zamana göre türevi bize
hızı verir. Başka bir deyişle birim zamanda konumdaki
değişim, hız demektir

Azalan fonksiyon ne demektir?

Bir fonksiyonun tanım kümesinden alınan keyfi x₁ ve x₂ noktaları için, x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₁) oluyorsa f(x) fonksiyonuna azalan fonksiyon denir.

Inx fonksiyonu artan mıdır?

(Inx) ' = 1/x olduğunu bir önceki soruda hesapladık.

Verilen bir f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası ne demektir?

Eğer f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu x₀ noktasının komşuluğundaki her x değeri için f(x) ≤ f(x₀) oluyorsa,  x₀ noktasına f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası denir.

Üstel bir fonksiyon olan f (x) = e^x  fonksiyonunun türevi nedir?

f (x) = e^x  ise f '(x) = e^x  olur. Yani türevi kendisine eşittir.

Bir fonksiyonun birinci türevi pozitif iken ikinci türevinin pozitif olması nasıl yorumlanabilir?

Fonksiyonun ikinci türevinin pozitif olması fonksiyonun birinci türevinin artan olduğunu gösterir. Birinci türevi de pozitif olduğundan fonksiyonun artış hızı
giderek artmaktadır. Bu da bize fonksiyona çizilecek olan teğet doğrularının eğimlerinin giderek arttığını gösterir.

Bir x₀ noktasına her iki yandan yaklaşmak ne demektir?

Bir x₀ noktasına her iki yandan da yaklaşıyoruz dediğimizde hem x₀’dan küçük değerlerle, hem de x₀’dan büyük değerlerle yaklaştığımızı kastediyoruz. Ayrıca, fonksiyonun x₀’da alacagı değerden ziyade, x₀ noktasına çok yakın yerlerde alacağı  değerler ile ilgilendiğimizden, fonksiyonun x₀ noktasında tanımlı olması bile gerekli değildir. O yüzden de tanımı verirken x noktalarının x₀ noktasından farklı olduğunu belirtiyoruz.

Toplamın türevi ve çarpımı hakkında ne söylenilebilir?

Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir. Çarpımın türevi, türevlerin çarpımına eşit değildir ! “tesadüfler dışında!”

İvmenin tanımı nedir?

İlk defa İtalyan Fizikçisi Galileo tarafından açık bir şekilde tarif edildiği bilinen ivme, belirli bir yönde hareket etmekte olan bir cismin hızının belirli bir zaman aralığındaki değişim miktarıdır. Başka bir deyişle ivme, bir cismin hızının değişim hızıdır.

Bir fonksiyonun sabit sayıyla çarpımının türevi neye eşittir?

Bir fonksiyonun sabit sayıyla çarpımının türevi, türevinin aynı sabitle çarpımına eşittir.