Genel Matematik Dersi 1. Ünite Sorularla Öğrenelim

Küme nedir?

Belli nesneler topluluğudur.

 A={a,b,c} kümesinin elemanları nelerdir?

a, b ve c.

 Kümeleri ifade etmek için hangi gösterimler kullanılır?

Liste gösterimi, ortak özellik gösterimi (kapalı
gösterim) ve kümelerin Venn şeması ile gösterimi.

Kümeler liste ile nasıl gösterilir?

Bu gösterimde elemanlar, “{ }” biçiminde iki
parantez arasına aralarına virgül koyarak tek tek yazılır.
İlk birkaç eleman ile kümenin hangi elemanlardan
oluştuğu anlaşılıyorsa, geri kalan elemanları tek tek
yazmak yerine “…” (üç nokta) yazılabilir. Kümenin
elemanları bir yerde son buluyorsa, son bir ya da birkaç
eleman da yazılır.

Kümeler ortak özellik gösterimi ile nasıl ifade edilir?

Bu gösterimde kümeyi oluşturan elemanları
yazmak yerine, elemanların sahip oldukları özellikler
yazılır.

Kümelerin Venn şeması ile gösterimi nedir?

Küme elemanlarını düzlemde daire, elips,
dikdörtgen vs. biçiminde bölgeler içine yazmaktır.

Bir A kümesinin bir B kümesinin altkümesi olması ne demektir?

Her x∈A için x∈B ise, A kümesine B kümesinin altkümesidir denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir:

A ⊂ B

Bir A kümesinin bir B kümesine eşit olması ne
demektir?

Eğer A ⊂ B ve B ⊂ A ise A ve B kümeleri eşittir
denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir:
A = B

Eşit olan iki küme örneği veriniz.

“KELEBEK” kelimesinin harflerinden oluşan
{K,E,L,B} kümesi, “BELLEK” kelimesinin harflerinin
kümesine eşittir.

Bir A kümesinin bir B kümesinin öz altkümesi olması
ne demektir?

A ⊂ B ve A ≠ B ise, A kümesi B kümesinin öz alt
kümesidir denir.

A =  {1,2,3,4,5,6} kümesinin bir altkümesini yazınız?

B = {2,4,5}

Boş küme nedir?

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir
ve Ø simgesiyle gösterilir.

A =  {1,2,3} kümesinin tüm altkümelerini yazınız.

Ø , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.

Evrensel küme nedir?

Herhangi bir problemle ilişkili tüm kümeleri
kapsayan kümeye evrensel küme denir.

İki kümenin birleşimi nedir?

A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların
oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir
ve birleşim aşağıdaki şekilde gösterilir:
A  ∪ B
Bir başka deyişle;
A  ∪ B = { x | x ∈ A veya x ∈ B } olur.

A = {3,5,7} ve B = {1,2,4} ise A ∪ B kümesini
yazınız.

A ∪  B =  {1,2,3,4,5,7} olur.

A = {1,2,4,6} ve B = {2,4,7,8} ise A ∪ B kümesini
yazınız.

A ∪ B = {1,2,4,6,7,8} olur.

Birleşimin sağladığı özellikler nelerdir?

A, B, C kümeler olmak üzere;
• A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪  B) ∪  C (Birleşme özelliği)
• A ∪ Ø = A ve A ∪  E = E
• A ⊂ A ∪ B ve B ⊂  A ∪ B
özellikleri geçerlidir.

A = {1,2,6}, B = {2,3,4} ve C = {1,5,7} ise
A ∪ B ∪ C = ?

A ∪ B ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7} olur.

İki kümenin kesişimi nedir?

A ve B gibi iki küme verilsin. Hem A hem de B ye
ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişimi
denir ve kesişim aşağıdaki şekilde gösterilir:
A ∩ B
Bir başka deyişle;
A ∩ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B} olur.

Kesişimin sağladığı özellikler nelerdir?

A, B, C kümeler olmak üzere;
• A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Birleşme özelliği)
• A ∩ Ø = Ø ve A ∩ E = A
• A ∩ B ⊂ A ve A ∩ B ⊂ B
özellikleri geçerlidir.

A = {3,5,7} ve B = {1,2,4} ise A ∩ B kümesini
yazınız.

A ∩ B = Ø olur.

A = {1,2,4,6} ve B = {2,4,7,8} ise A ∩ B kümesini
yazınız.

A ∩ B = {2,4} olur.

A = {1,2,6}, B = {2,3,4} ve C = {2,5,7} ise
A ∩ B ∩ C = ?

A ∩ B ∩ C = {2} olur.

A = {1,3,9}, B = {1,2,4} ve C = {3,5,7} ise,
(A ∩ B) ∪ C kümesini yazınız.

(A ∩ B) ∪ C = {1,3,5,7}.

İki kümenin farkını tanımlayınız.

A ve B gibi kümeleri verilsin. A ya ait olan ancak
B ye ait olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi
denir ve bu küme aşağıdaki şekilde gösterilir:
A\B
ve
A\B = {x | x ∈ A ve x ∉ B}.

İki kümenin ayrık olması ne demektir?

Kesişimleri boş olan kümelere ayrık kümeler
denir.

A = {1,2,3,7,9} ve B = {2,3,4,5} kümeleri verilsin.
A\B ve B\A kümelerini bulunuz.

A\B = {1,7,9} ve B\A = {4,5}.

A = {1,2,3,5,6} , B = {2,3,4,6} ve C = {3,6,7,8,9}
kümeleri verilsin. C \ (A ∩ B) kümesini belirleyiniz.

C \ (A ∩ B) = {7,8,9}.

Doğal sayılar kümesini yazınız.

 N = {1,2,3,…}.

Tam sayılar kümesini ifade ediniz.

Z = {1,2,3,…}  ∪ {0}  ∪ {−1,−2,−3,…}
kümesidir.

Gerçel sayılar kümesini ifade ediniz.

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümelerinin
birleşimi R ile gösterilen gerçel sayılar kümesini
oluşturur.

N, Z,Q ve R kümeleri arasındaki kapsamı yazınız.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R kapsamları vardır.

a ve b gibi iki gerçel sayı nasıl karşılaştırılabilir?

a sayısının sayı doğrusundaki konumu b
sayısınınkine göre soldaysa “ a sayısı b sayısından
küçüktür” veya “b sayısı a sayısından büyüktür” denir
ve a < b olarak gösterilir. a = b veya a < b ise, bu
durum a ≤ b ile gösterilir ve “a, b den küçük eşittir” ya
da “b, a dan büyük eşittir” denir.

Bir a sayısının mutlak değeri nedir?

Bir a sayısının mutlak değeri, sayı doğrusunda o
sayının başlangıç noktasına, yani sıfıra olan uzaklığıdır ve
|a| ile gösterilir. Her a sayısı için, |a| ≥ 0 olur.

|a-2| = 3 ise a gerçel sayısının alabileceği
değerleri bulunuz.

a - 2 = 3 veya a - 2 = -3 olduğundan, a = 5
veya a = -1 olur.

Aralık nedir?

Aralıklar, gerçel sayılarda seçilen iki sayı arasındaki tüm
sayıların oluşturduğu kümelerdir.
a ve b herhangi iki gerçel sayı ve a < b olsun.
{x | a ≤ x ≤ b, x ∈ R} kümesine kapalı aralık denir ve
[a, b] olarak gösterilir. a ve b sayılarına aralığın uç noktaları denir.
[a, b] kapalı aralığı sayı ekseni üzerinde uçları a ve b olan
doğru parçası ile gösterilir.
Açık aralıklar da;
a, b = {x | a < x < b, x ∈ R} olarak tanımlanır.
Aralığın bir ucu kümeye aitse o taraf köşeli parantez,
değilse parantez işaretiyle yazılır.
Yarı açık aralıklar da;
• [a, b) = {x | a ≤ x < b, x ∈ R}
• (a, b] = {x | a < ≤ b, x ∈ R} şeklindedir.
Bir a sayısından büyük bütün gerçel sayıların kümesi ise;
(a,∞) = {x | x > a, x ∈ R} olarak ifade edilir.

[-2,6) ve (3,9) aralıklarının kesişim kümesini
bulunuz.

(3,6) aralığıdır.

[-2,6) ve (3,9) aralıklarının birleşim kümesini
bulunuz.

[-2,9) aralığıdır.

(-1,5], [0,6] ve (2,∞) aralıklarının kesişim kümesini
bulunuz.

(2,5) aralığıdır.

(-1,5], [0,6] ve (2,∞) aralıklarının birleşim kümesini
bulunuz.

(-1,∞) aralığıdır.

A = (2,∞) ve B = (5,100) ise A\B kümesini yazınız.

(2,5] ∪ [100,∞) şeklinde iki aralığın birleşimidir.

A = (2,∞) ve B = (5,100) ise A ∪ B kümesini
yazınız.

A ∪ B = A = (2,∞) kümesidir.

A = (2,∞) ve B = (5,100) ise A ∩ B kümesini
yazınız.

A ∩ B = B = (5,100) aralığıdır.

{1,2,...,200} kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi nedir?

{x | x ? 200, x ? N}

A= { {1},{2}, 3, {4,5} } kümesinin eleman sayısı kaçtır?

4

Eğer A ? B ve B ? A ise A ve B kümelerinin birbiriyle ilişkisi nasıl gösterilir?

A=B

A ve B iki küme olmak üzere, her x ? A için x ? B ise A ve B kümelerinin birbiriyle ilişkisi nasıl gösterilir?

A'nın her elemanı B'nin de elemanı ise A kümesine B kümesinin altkümesidir denir ve A ? B ile gösterilir.

Boş küme hangi simge ile gösterilir?

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Ø simgesiyle gösterilir.

Evrensel küme nedir?

Herhangi bir problemle ilişkili tüm kümeleri kapsayan kümeye “evrensel küme” diyoruz. Evrensel küme genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme seçilen probleme göre degişebilen bir kümedir. Örneğin yalnız 10’dan küçük doğal sayıları kullanacaksak E = {0, 1, 2,... , 9} olarak belirlemek yeterlidir.

A ve B gibi iki kümenin birleşim kümesi nasıl ifade edilir?

A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların oluşturdugu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir ve A ? B
ile gösterilir. Bir başka deyişle A?B = { x| x ? A veya x ? B } olur.

Kümelerde birleşim işleminin özellikleri nelerdir?

Keyfi A, B, C kümeleri için birlesim ile ilgili şu özellikler geçerlidir.
• A ? B = B ? A (Değişme özelliği) 
• A ? (B ? C)=(A ? B) ? C (Birleşme özelliği) 
• A ? Ø = A ve A ? E = E
• A ? A ? B ve B ? A ? B

A ve B gibi iki kümenin kesişim kümesi nasıl ifade edilir?

Hem A hem de B ye ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişimi denir ve A ? B ile gösterilir. Bir başka deyişle 

A ? B = {x| x ? A ve x ? B} olur.

Kümelerde kesişim işleminin özellikleri nelerdir? 

Keyfi A, B, C kümeleri için kesişim ile ilgili şu özellikler doğrudur.
• A ? B = B ? A (Degişme özelliği) 
• A ? (B ? C)=(A ? B) ? C (Birleşme özelliği) 
• A ? Ø = Ø ve A ? E = A
• A ? B ? A ve A ? B ? B

A ve B iki küme olsun. A'ya ait olup B'ye ait olmayan elemanların kümesi nasıl gösterilir?

A’ya ait olan ancak B’ye ait olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve bu küme A\ B ile gösterilir.

A\ B = {x| x ? A ve x ? B}

Ayrık küme nedir?

Kesişimleri boş olan kümelere ayrık kümeler denir.

E evrensel kümesi ve bunun bir A altkümesi verilsin. A kümesinin tümleyeni nasıl tanımlanır?

E evrensel kümesi ve bunun bir A altkümesi verilsin. E kümesine ait olup A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A kümesinin E kümesine göre tümleyeni denir ve bu küme A^t ile gösterilir.

E evrensel kümesi ve onun bir A alt kümesi, E= { -2, 0, 2, 4, 6, 8 }, A= { 0, 2, 4} olarak veriliyor. A^t kümesinin elemanlarını yazınız.

A^t = { -2, 6, 8 }

A= { x | x<10, x ? IN } B= { -2, -1, 0, 1, 2} ise A?B kümesinin elemanlarını yazınız.

A?B= { 0, 1, 2 }

Z tam sayılar kümesi olmak üzere { a / b | a, b ? Z, b ? 0 } kümesi hangi sayı kümesini ifade etmektedir?

Z tam sayılar kümesi olmak üzere { a / b | a, b ? Z, b ? 0 } kümesi rasyonel sayılar kümesini ifade etmektedir.

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi hangi sayı kümesidir?

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi de “gerçel sayılar” kümesini oluşturmaktadır. Gerçel sayılar kümesini R ile gösterilir.

“Evrenin dili matematiktir” diyen bilin insanı kimdir?

Galileo “Evrenin dili matematiktir” demiştir.

Küme nedir?

İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeyi belirlerken, bir nesnenin o kümeye ait olup olmadığı, herkes tarafından net olarak anlaşılacak biçimde ifade edilmelidir.

Kümeler nasıl gösterilir?

Anlaşma kolaylığı açısından kümeleri A, B, C,... gibi büyük harflerle gösteriyoruz. Bir kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanı denir ve kümenin elemanlarını da a, b,c,... gibi küçük harflerle gösterilir

Eğer a nesnesi A kümesinin bir elemanıysa bu durumu a ? A, eğer  b nesnesi A kümesinin elemanı değilse bu durumu  b  A olarak gösterilir.

Bir kümeyi belirtmenin bir yolu elemanlarını {      } biçiminde iki parantez arasına, aralarına virgül koyarak tek tek ifade etmektir. Bu gösterime “liste gösterimi” denir.

Örneğin bir, iki, üç ve dört sayılarından oluşan bir küme {1, 2, 3, 4} biçiminde gösterilir.

100’den küçük doğal sayılar kümesini liste gösterimi ile ifade ediniz.

Bu kümeyi {1, 2,... , 99} biçiminde ifade edebiliriz. Burada ilk birkaç eleman ile kümenin hangi elemanlardan oluştuğu anlaşılıyorsa geri kalan elemanları tek tek yazmak ^ yerine “...” (üç nokta) ile ifade ediyoruz. Kümenin elemanları bir yerde son buluyorsa, son bir ya da birkaç elemanı da yazıyoruz.

Kümelerin “ortak özellik gösterimi” veya “kapalı gösterimi” nasıl ifade edilir?

Kümeyi oluşturan elemanları tek tek saymak yerine sağladıkları özelliklerle bu kümeye dahil edilmesine “ortak özellik gösterimi” veya “kapalı gösterim” denmektedir.

A= { x | x sayısı 100’den küçük doğal sayı}

Bir kümenin elemanlarının yazılışında sıranın değiştirilmesi ya da elemanların tekrar edilmesi kümeyi değiştirir mi?

Bir kümenin elemanlarının yazılışında sıranın değiştirilmesi ya da elemanların tekrar edilmesi kümeyi değiştirmiyor.

İki Kümenin eşitliği nasıl ifade edilir?

Eğer A ? B ve B ? A ise A ve B kümeleri eşittir denir ve A = B olarak gösterilir. A ve B kümelerinin eşit olmaması durumu da A  B olarak gösterilir.

Örnek “LEBLEBİ” kelimesinin harfleri kümesi {B, E, İ, L} olur. Bu küme aynı zamanda “BELLİ” kelimesinin harfleri kümesine de eşittir.

Öz altküme nedir? 

A ? B ve A  B ise A kümesi B kümesinin öz altkümesidir denir.

Kümelerin birleşimi nedir?

A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir ve A? B ile gösterilir. Bir başka deyişle,

A?B = { x| x ? A veya x ? B}  olur.

Keyfi A, B, C kümeleri için birleşim ile ilgili hangi özellikler geçerlidir?

Keyfi A, B, C kümeleri için birleşim ile ilgili şu özellikler geçerlidir.

• A? B = B ? A (Değişme özelliği)
• A? (B ? C)=(A? B) ? C (Birleşme özelliği)
• A? = A ve A? E = E
• A ? A? B ve B ? A? B

Boş küme eleman içermediğinden A kümesi ile birleşimi A olacaktır.

Evrensel küme, ilgili probleme ait tüm kümeleri içerdiğinden A kümesi ile birleşimi yine evrensel küme olacaktır.

A= {1,2}, B = {2,3}, ve C = {3,4} kümeleri için  (A? B)? C ve A?(B ? C) küme birleşimlerinin eşit olduğunu gösterelim

A? B = {1,2,3},
B ? C = {2,3,4},
(A? B)? C = {1,2,3,4}
ve
A?(B ? C) = {1,2,3,4} olur.

İki kümenin kesişimi nedir?

Hem A hem de B ye ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişimi denir ve A? B ile gösterilir.

Bir başka deyişle; A? B = {x| x ? A ve x ? B} olur.

A = {1, 3, 5} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri için, AUB, A?B, A\B, B\ A nedir?

A = {1, 3, 5} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri için
A? B = {1, 2, 3, 4, 5}
A? B = {1, 3}
A\ B = {5} ve        (A kümesinde olup, B kümesinde olmayan)

B \ A = {2, 4} olur (B kümesinde olup, A kümesinde olmayan)