İstatistik 1 Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim

Sürekli Rassal Değişkenler Ve Olasılık Dağılımları

1. Soru

Sürekli rassal değişken kavramını tanımlayınız.

Cevap

Belli bir aralıkta veya aralıklarda her değeri alabilen rassal değişkene, sürekli rassal değişken denir. Bir başka ifadeyle, sürekli rassal değişken, alabileceği değerleri sayılamayacak(sonsuz) kadar çok olan rassal değişkendir. Ayrıca, sürekli rassal değişkenin değerleri genellikle, sayım yoluyla elde edilen kesikli rassal değişkenlerin aksine ölçüm yoluyla elde edilmektedir.


2. Soru

Bir fabrika uzunlukları 1 ile 13 metre arasında düzgün dağılım gösteren kablolar üretmektedir. Bu kabloların uzunluğunun varyansı kaç metredir?

Cevap

varyans=(b-a)*(b-a)/12=(13-1)*(13-1)/12=12m olur


3. Soru

Ortalama 1 kg, standart sapması 30 gram olan konserveler üreten bir fabrika, çok hafif olduğu gerekçesiyle konservelerin % 1'ini yeniden üretim bandına sokmayı planlamaktadır (en hafif %1'lik dilime girenleri). Bu durumda kaç gramdan düşük ağırlığa sahip konserveler seçilmelidir?

Cevap

P(z<k)=0.01

İhtiyaç duyduğumuz ağırlıktaki konserveler dağılımın negatif (sol) tarafına düştüğü ve tabloda negatif değerlere ilişkin dağılım verilmediği için simetriği olan pozitif z değerini bularak çözüme ulaşabiliriz.

En hafif %1 ile en ağır %1 için eşik değerler ortalamaya göre simetriktir.

Bu durumda P(z<p)=0.49 değerini sağlayan p eşiği ile k ortalamaya göre simetriktir.

P(z<p)=0.49 eşitliğini sağlayan eşik 2.3'tür. Standart normal dağılımın 2.3'e göre simetrik sol eşiği -2.3 olacağından:

(x-1000)/30=-2.3

x-1000=-69

x=1000-69=931 gr olacaktır. Yani 931 gramdan hafif olan ürünler yeniden üretim bandına gönderilecektir.


4. Soru

Bir önceki soruda verilen X değişkeni için P(5<X<7)=?

Cevap

f(x)=0.2 olduğuna göre P(5<X<7) olasılığı bir kenarı 0.2, diğer kenarı 7-5=2 olan bir dikdörtgenin alanına eşittir. Yani P(5<X<7)=2*0.2=0.4


5. Soru

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımını kulllanarak 1000 kere atılan bir paranın en az 520 kez tura gelme ihtimalini hesaplayınız.

Cevap

Ortalama=np=0.5*1000=500 kez tura gelebilir

Varyans=npq=1000*0.5*0.5=250

Standart sapma=Kök(250)=15.8

z=(520-500)/15.8=1.27 (yaklaşık)

P(x>520)=0.5-P(z<1.27)=0.5-0.398=0.102=%10.2


6. Soru

Sürekli rassal değişkenin olasılık hesaplamalarında kullanılan dağılımlar nelerdir?

Cevap

Düzgün dağılım ve normal dağılım sürekli rassal değişkenler için uygulanan dağılımlardır.


7. Soru

Günlük yaşantımızda normal dağılıma uyan örnekler nelerdir?

Cevap

Günlük yaşantımızda normal dağılıma uyan bazı örnekler şöyle sıralanabilir: • Bir yatırım aracının aylık gelirleri, • Bir işletmede üretilen ürünlerin ağırlıkları, • Yeni doğan bebeklerin ağırlıkları, • Bir deneyde yapılan rassal ölçüm hataları, • Zeka testi sonuçları, • Bir okulda matematik dersinde alınan notlar


8. Soru

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun “f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan 1’e eşittir” özelliğini açıklayınız.

Cevap

Normal dağılımın f(x) eğrisi altında kalan alan ve x-ekseni ile sınırlandırılmış toplam alanın veya olasılığının 1 olmasıdır.


9. Soru

Normal dağılımın sürekli rassal değişkenler için en önemli dağılımlardan biri olmasının nedeni nedir?

Cevap

Günlük yaşamımızda gerek gözlenen sürekli rassal değişkenlerin büyük çoğunluğunun (yaklaşık olarak) normal dağılıma uyması, gerekse istatistiksel çıkarsamalarda temel dağılım olarak kullanılması açısından önemli bir dağılımdır.


10. Soru

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu hangi özellikleri sağlar?

Cevap

• Her x için f(x) ? 0 • f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan 1’e eşittir. • f(x) eğrisi x = µ’ye göre simetriktir. • f(x) eğrisinin iki ucu (kuyruğu) sonsuza gitmektedir.


11. Soru

Sürekli rassal değişken olabilecek örnekler nelerdir?

Cevap

Sürekli rassal değişken olabilecek ile ilgili olarak; 1. Ülkelerin yüzölçümleri, 2. Aylık gıda harcamaları, 3. Boy uzunlukları, 4. Bir hisse senedinin fiyatı, 5. Aylık elektrik tüketimi, 6. Bir elektronik eşyanın dayanma süresi gibi örnekler verilebilir.


12. Soru

a<X<b aralığında dağılan düzgün (uniform) bir dağılım için ortalama ve varyans nedir?

Cevap

Ortalama=(a+b)/2

Varyans=(b-a)/?12


13. Soru

Düzgün dağılım nedir? Örnekle açıklayınız.

Cevap

Sürekli rassal değişkenler için en basit dağılımlardan biri olan düzgün(uniform) dağılım, sürekli bir rassal değişkenin tanımlı olduğu aralıkta belirlenen eşit uzunluktaki aralıkların olasılıklarının eşit olduğu bir dağılımdır. Örneğin; Bir uçağın yerden başka bir yere uçuş suresi, belli uzunluktaki bir borunun arızalandığı noktadaki mesafesi düzgün dağılıma örnektir.


14. Soru

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun “f(x) eğrisi x=µ’ye göre simetriktir” özelliğini açıklayınız.

Cevap

Normal dağılım eğrisinin şeklinin x=µ’nün solunda ve sağında aynı olmasıdır. Ayrıca, ortalama (µ), eğri altındaki toplam alanı iki eşit parçaya ayırır.


15. Soru

. Sürekli X rassal değişkeni, 1 ile 5 arasında düzgün dağılıma sahip olsun. X rassal değişkeninin 2 ile 4 arasında değer alması olasılığı kaçtır?

Cevap

Cevap: P(c< x


16. Soru

Sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılıkların (alanların) hesaplanabilmesi ve çeşitli yorumların yapılabilmesi için ne kullanılır?

Cevap

Olasılık yoğunluk fonksiyonu veya olasılık dağılım eğrisi kullanılmaktadır.


17. Soru

Sürekli rassal değişken ile kesikli rassal değişkenin değerleri arasındaki fark nedir?

Cevap

Sürekli rassal değişkenin değerleri ölçüm yolu ile kesikli rassal değişkenin değerleri sayım yolu ile elde edilir.


18. Soru

Sürekli rassal değişkenler için tanımlanan olasılık yoğunluk fonksiyonlarının özellikleri nelerdir?

Cevap

Sürekli bir rassal değişkenin f (x) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir.

Her x için f (x) ? 0’dır.

f (x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan veya olasılık 1’eşittir


19. Soru

Sürekli rassal değişkenin f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun hangi özellikleri sağlaması gerekir?

Cevap

• Her x için f(x) ? 0’dır. • f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan veya olasılık 1’e eşittir.


20. Soru

Ülke çapında yapılan bir sınavın ortalama skoru 400 puan olup standart sapması 20 puandır. Skorların normal dağıldığı varsayımıyla en başarılı % 5'lik dilime girmesi için bir öğrencinin skorunun en az kaç olması gerekir?

Cevap

Öğrenci %5'lik dilimdeyse, sınava giren öğrencilerin % 95'ini geçmiş olması gerekir. Yani: P(z<k)=0.95

Ortalamanın altında alan öğrenciler % 50lik dilimi oluşturduğuna göre P(0<k)=0.95-0.50=0.45 Tablo yardımıyla k=1.55'tir (yaklaşık)

z=(x-400)/20

1.55=(x-400)/20

20*1.55=x-400

431=x olacaktır.

Yani öğrenci en az 431 puan almış olmalı ki en başarılı %5'lik dilimde olsun.


21. Soru

Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri nelerdir?

Cevap

Normal dağılımın f (x) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar.

  1. Her xiçin f (x) ? 0.
  2. f (x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan 1’e eşittir.
  3. f (x) eğrisi x=µ’ye göre simetriktir.
  4. f (x) eğrisinin iki ucu (kuyruğu) sonsuza gitmektedir.

22. Soru

Sürekli X rassal değişkeni a? x ?b aralığında düzgün dağılıma sahip olduğunda, bu rassal değişkenin c ve d değerleri arasında olma olasılığı P(c<>

Cevap

P(c< x


23. Soru

Süreklilik düzeltmesi nedir?

Cevap

Kesikli rassal değişkenin sürekli rassal değişkene dönüştürülmesi için “süreklilik düzeltmesi” yapılmalıdır. Buna göre, binom dağılımı için P(X=x) olasılığında x’e ±0,5 değeri eklenerek, normal dağılım için; P(x-0,5 ? X ? x+0,5) olasılık değeri hesaplanır. Sonuç olarak, kesikli rassal değişkenlere uygulanan binom dağılımının, sürekli rassal değişkenlere uygulanan normal dağılıma yaklaşımı sağlanır. Örneğin, binom dağılımda P(X ? 30) olasılık değeri normal dağılım yaklaşımında aranırken P(X ? 30,5) şeklinde, P(X ? 25) aranırken P(X ? 24,5) şeklinde süreklilik düzeltmesi yapılır.


24. Soru

Standart normal dağılım nedir?

Cevap

Ortalaması sıfır, varyansı bir olan dağılıma standart normal dağılım denir.


25. Soru

Standart normal dağılım için P(-2<>

Cevap

Simetri özelliğini kullanarak:

P(-2


26. Soru

Standart normal dağılım için P(-0.6<Z<0.6)=?

Cevap

Normal dağılım tablosundan P(0<Z<0.6)=0.2257 olduğu görülecektir. Normal dağılım ortalamaya (sıfıra) göre simetrik olduğundan P(-0.6<Z<0)=0.2257 olacaktır. O zaman P(-0.6<Z<0.6)=P(0<Z<0.6)+P(-0.6<Z<0)=2*0.2257=0.4517 olacaktır


27. Soru

Binom dağılımın normal dağılıma yakınsaması (yaklaşması) için gerekli koşullar nelerdir?

Cevap

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımının kullanılabilmesi için, n deney sayısı, p başarı şansı ve q başarısızlık olasılığını belitmek üzere; n p? 5 ve n q? 5 koşullarının sağlanması gerekir.


28. Soru

Bir lisedeki öğrencilerin boyları 170 cm ortalama ve 5cm standart sapmayla normal dağılmaktadır. Seçilen bir öğrencinin (175cm, 180cm) aralığında bir boyda olması olasılığı nedir?

Cevap

x=165 için z=(175-170)/5=1

x=180 için z=(180-170)/5=2

Öyleyse bizden istenen olasılık P(1<z<2)=?

P(1<z<2)=P(0<z<2)-P(0<z<1)=0.4772-0.3413=0.1359=%13.59


29. Soru

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun “Her x için f(x) ? 0’dır” özelliğini açıklayınız.

Cevap

Normal dağılımın tanımlı olduğu -?< x


30. Soru

Sürekli rassal değişkenin olasılıkları kesikli rassal değişkenlerde olduğu gibi tek tek mi hesaplanır?

Cevap

Sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılık hesabı, kesikli rassal değişkenlerden farklılık göstermektedir. Mesela seçilen bir öğrencilerin boy uzunluğunun 160 ile 170 cm arasında olma olasılığı araştırılmak istendiğinde, X rassal değişkeninin 160 ile 170 cm arasında alabileceği değerler sayılamayacak çokluktadır. Bundan dolayı, sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılıklar, kesikli rassal değişkenlerde olduğu gibi tek tek hesaplanamaz. Bu durumda sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılıkları belirlemek için alan kavramı kullanılır.


31. Soru

Sürekli rassal değişken nedir?

Cevap

Belirli bir aralıkta veya aralıklarda her değeri alabilen rassal değişkene sürekli rassal değişken denir. Bir başka ifade ile sürekli rassal değişken, alabileceği değerleri sayılamayacak (sonsuz) kadar çok olan rassal değişkendir.


32. Soru

Bir konserve fabrikasının ürettiği konserveler ortalama 1 kg ağırlığa sahip olup standart sapması 20 gramdır. Seçilen bir konservenin 960 gramdan az olması ihtimali nedir?

Cevap

x=960 için z=(960-1000)/20=-2

Bu durumda P(x<960)=P(z<-2) olacaktır

Simetri özelliğini kullanacak olursak:

P(z<-2)=P(z>2)=0.5-P(0<z<2)=0.5-0.4772=0.02228


Kayıt Yenileme (Ders Ekle Sil)
7 Şubat 2022 Pazartesi