Mantığın Gelişimi Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim
Çağdaş Mantık
- Özet
- Sorularla Öğrenelim
Çağdaş mantık anlayışının ortaya çıkmasıyla mantık alanındaki gelişmeleri açıklayınız
Mantık çalışmaları bu dönemde daha önceki dönemlerden olduğundan çok daha fazla ölçüde yoğunlaşılmış ve çeşitlenmiştir. Mantığın bu dönemdeki hızlı gelişiminin en önemli sonucu çözümleyici (analitik) felsefenin doğuşudur. Mantık felsefesi ve mantık uygulamaları konularındaki çalışmaların temelini geliştirilen çok sayıda yeni mantık sistemi oluşturmaktadır. Geliştirilen çok sayıdaki mantık sistemi, bu sistemlerin hangisinin felsefe, matematik veya kuramsal bilgisayar bilimi için uygun mantık sistemi olduğu (Eğer böyle bir tek mantık sistemi varsa!) tartışmasını doğurmuştur.
Rönesans sonrası dönemde bile Aristoteles mantığının etkisi sürmesine rağmen 19. YY sonrasından itibaren çağdaş mantığın ortaya çıkması nasıl gerçekleşmiştir?
19. yüzyılın sonundan başlayarak çağdaş mantık sistemlerinin ortaya çıkmasıyla değişmiştir. Bu dönemde mantık çalışmalarının artışına yol açan en önemli etken matematiğin temelleriyle ilgili tartışmalardır. Hızla gelişen matematikte özellikle sonsuz kavramı ile ilgili ortaya çıkan çatışkılar (paradokslar) matematiğin daha güvenli bir etkinlik olarak yeniden oluşturulmasının gerekli olduğu düşüncesini doğurmuştur. Böylece çağdaş mantık anlayışının oluşmasına zemin hazırlanmıştır.
Çağdaş dönemde matematiğin gelişiminin mantık alanıyla olan ilişkisini açıklayınız.
Mantığın matematikle olan ilişkisi oldukça verimli biçimde çift yönlü olarak gelişmiştir. Amaçlandığı gibi, mantık matematiğin daha kurallı bir bilim olmasını sağlamış ve matematikte (sonsuz-küçük sayılara yer veren) standart-dışı analiz gibi yeni alanların ortaya çıkmasını sağlamıştır. Bununla birlikte, mantığın tam olarak biçimselleşmesinin ardından matematiğin kavram ve yöntemlerine mantık sistemlerinin özelliklerini ortaya koymak için başvurma olanağı doğmuştur. 20. ve 21 yüzyılda mantık sadece matematikle değil, yeni ortaya çıkan kuramsal dilbilim, kuramsal bilgisayar bilimi gibi araştırma alanlarıyla da etkileşimli olarak ilerlemiştir. Bu alanlarla da mantığın ilişkisi çift yönlüdür.
Aslen Alman olan ve çağdaş mantığın kurucu olan düşünür kimdir?
Alman Gottlob Frege(8 Kasım 1848-26 Temmuz 1925) çağdaş mantığın kurucusudur. Almanya’nın Wismar eyaletinde doğmuş olan Frege, matematik öğrencisi olarak eğitim hayatına başlasa da çoğu meslektaşından farklı olarak matematik nesnelerin ve matematikteki akıl yürütmenin doğası üzerine düşünerek mantık konusunda çalışmaya yönelmiştir.
Frege’nin aritmetik mantığa ilişkin görünüşü açıklayınız?
Frege için bir doğru önermenin analitik olması, o önermenin tanımlar ve mantıksal çıkarım kuralları ile elde edilebilmesi gereklidir. Dolayısıyla Frege tüm aritmetik önermelerinin tanımlardan ve sadece genel mantıksal çıkarım kurallarına başvurarak elde edilebileceğini savunmaktadır. Buna ek olarak, aritmetiğin başlangıç noktasını oluşturan tanımlar da sadece mantık kavramlarına yer veren tanımlar olacak şekilde seçilebilir. Frege’nin mantıkçılık olarak adlandırılan, sıklıkla aritmetiğin mantığa indirgenmesi biçiminde de dile getirilen programının ana hatları bunlardır.
Frege’nin Boole mantığı ve geleneksel mantığa ilişkin eleştirileri nelerdir?
Fregene geleneksel mantığın (Aristoteles mantığı) ne de döneminde yaygın kabul gören mantık sistemi olan Boole mantığının mantıkçı programını gerçekleştirmek bakımından yeterli olmadığı sonucuna varmıştır.
Frege’nin Boole mantığına ilişkin eleştirileri nelerdir?
Bir etkinlik olarak doğa biliminin amacı buluştur. Bununla birlikte: • Boole matematiksel gösterimi matematikteki olağan anlamları ile bağdaşmayan biçimde yeniden kullanmakta, böylece onun matematikteki kanıtlamaları çokanlamlılıktan uzak biçimde temsil etmesine bir engel oluşturmaktadır, • İçerdiği ikili yorumlamalarla önerme eklemli ve kategorik/nicelemeli bileşenlerini ayrıştırmakta ve böylece, her iki türden adımları içeren çıkarımların temsilini olanaksız kılmaktadır. • Başka kimi eklemeler olmadan, Boole mantığı (örneğin, Her insan bir kenti sever önermesi gibi) iç içe nicelemek önermeleri ele almaz.
Çağdaş mantığın gelişimi ve yaygınlaşmasında kimlerin önemli katkıları olmuştur?
Frege’nin kurucusu olduğu çağdaş mantık bugüne değin değişimini ve çeşitlenmesini sürdürmüştür. İngiliz felsefeci Bertrand Russell (1872-1970), Kurt Gödel (1906-1978) ve Clarence Irving Lewis’in (1883-1964) bu dönemde çağdaş mantığa önemli katkısı olmuştur düşünürlerdir.
Russell’ın Çağdaş mantığın gelişimindeki önemli katkıları nelerdir?
Meslek yaşamının ilk dönemini kapsayan mantık çalışmalarında Russell çağdaş mantık, mantık felsefesi, matematik felsefesi ve mantığın dil felsefesi sorunlarına uygulaması konularında önemli sonuçlara varmıştır. Russell’ın mantık ve mantık felsefesi ile ilgili çalışmaları arasında en önemlisi Amerikalı matematikçi ve felsefeci Alfred North Whitehead (1861-1947) ile birlikte yazıp hacimli üç cilt hâlinde yayımladıkları Principia Mathematica (Matematiğin İlkeleri) kitabı önemli bir yer tutmaktadır.
Russel ile Frege’nin mantığa ilişkin ortak olarak benimsedikleri görüşleri nelerdir?
Russell bu çatışkının bir benzerinin Frege’nin mantık sisteminde ortaya çıktığını fark ederek bunu Frege’ye yazdığı bir mektupla bildirmiştir. Bu sonuç sadece Frege’nin meslek yaşamında değil, çağdaş mantığın bugüne kadarki gelişiminde de büyük önem taşımaktadır. Russell da Frege’nin mantıkçı programını benimsediğinden Russell paradoksuna bir çözüm bulunması Russell için de önemlidir. Russell Frege’nin mantık sisteminin çatışkısına karşı çözümü tipler kuramını geliştirmek olmuştur.
Russel’in niceleme mantığının ilişkin getirdiği önemli açıklamaları belirtiniz.
Russell’ın çağdaş mantığın yaygın kullanımı açısından büyük önem taşıyan bir başarısı niceleme mantığının gösterimini (notasyonunu) daha kolay anlaşılır hâle getirmesidir. Doğru olmasa da Frege mantığının 2 boyutlu gösteriminin anlaşılması zor olduğu düşüncesinin yaygınlaşması niceleme mantığının felsefeciler ve matematikçilerin yaygın olarak başvurmasını engellemekteydi. Russell’ın niceleme mantığı için geliştirdiği gösteriminin daha kolay anlaşılır bulunmasıyla niceleme mantığı zamanla daha sık başvurulan bir araç olmuştur. Belirli betimlemeler Türkiye’nin başkenti, En ünlü Türk romancısı gibi belirli bir varlığa betimleme yoluyla işaret eden ifadelerdir.
Kurt Gödel’in mantık çalışmalarında ortaya koyduğu teoremleri sıralayınız.
Gödel’in ortaya koyduğu teoremler şunlardır: • Tamlık Teoremi • Eksiklik Teoremleri • Birinci eksiklik teoremi • İkinci eksiklik teoremi
Gödeli’in adının birçok alanda duyulmasını sağlayan teoremini açıklayınız.
Eksiklik Teoremleridir. Gödel’in adının mantık dünyasında ve başta felsefe olmak üzere, diğer alanlarda sıklıkla anılmasını sağlayan başarısı eksiklik teoremleridir. Eksiklik teoremleri Gödel’in Hilbert programı içindeki çalışmalarının bir sonucunda ortaya çıkmıştır. Hilbert programı matematiksel analizin tutarlılığını sadece sonlu kanıtlamalara başvurarak göstermeyi amaçlamaktaydı. Gödel matematiksel analizin temelini oluşturan aritmetiğin tutarlılık sorununun bile bu yolla çözülemeyeceğini göstermiştir.
Eksiklik teoreminin ilgi çekmesinin nedenlerini belirtiniz?
Eksiklik teoremlerinin büyük ilgi çekmesinin önemli bir nedeni de Gödel’in bu sonuçlara ulaşmakta başvurduğu kanıtlama yoludur. Gödel kanıtlamasındaki önemli aşamalardan biri, aritmetiğin üst-dilinin aritmetik içinde kodlanmasıdır. Bu amaçla, aritmetik semboller, aritmetik önermeler ve aritmetik önermelerden oluşan sonlu diziler olan aritmetik kanıtlamalar sonlu sayı dizileriyle kodlanmıştır.
Görelenmiş Hilbert Programlarının ortaya çıkışının nedenleri ve ortaya koyduğu temel noktalar nelerdir?
Gödel’in eksiklik teoremlerinin Hilbert programının başarılamayacağını gösterdiği kabul edilse de bu negatif sonuç, Gerhard Gentzen’in (1909-1945) 1930lardaki çalışmasıyla başlayan ve Görelenmiş Hilbert Programları olarak adlandırılan yeni bir çalışma alanının doğmasına yol açmıştır. Bu alandaki çalışmalar kanıt kuramının gelişmesini sağlamıştır. Bunlar: • Seçme Belirtinin Bağımsızlığı • İyi-sıralama ilkesi • Zorn lemması • Banach-Tarski teoremi
Frege’nin tam bir sisteminin eksikliğinden yola çıkarak ortaya konan mantık sistemleri hangileridir?
Kimi mantıkçılar bu mantık sistemini yetersiz bulmuş veya yaygın mantığın kimi yönlerini olumsuz görerek, farklı mantık sistemleri geliştirmiştir. Bunlar arasında öne çıkanlardan bazıları şöyledir: • Çoklu-değerli mantık sistemleri • Sezgici mantık sistemleri • Kipli mantık sistemleri
ClarenceIrving Lewis’in ortaya koyduğu mantık sistemini açıklayınız
Koşul ekleminin farklı yorumlanması gerektiği düşüncesini temel alarak bir mantık sistemi geliştiren ilk çağdaş mantıkçı Clarence Irving Lewis’tir (1883-1964). Lewis’in çalışmaları çağdaş kipli mantık sistemlerinin gelişiminin ilk adımı olmuştur. Lewis ile başlayan ilk dönem kipli mantık çalışmalarında mantıkçılar farklı belit sistemleri geliştirmeyi amaçlamışlardır.
Çağdaş mantıkçılar arasında gösterilen Rudolf Carnap’ın ortaya koyduğu mantığı açıklayınız.
Çağdaş mantıkçılar arasında kipli mantık için kullanışlı ve sağ duyusal bir yorum (semantik) geliştirmeyi ilk başaran Rudolf Carnap’tır (1891-1970). Carnap’ın kipli semantiğinde başvurduğu temel kavram durum betimlemesi kavramıdır. Durum betimlemesi kavramı Carnap’a göre Leibniz’in olanaklı dünyalar ya da Wittgenstein’in olanaklı olgu durumları kavramlarıdır.
Farklı mantık sistemlerinin gelişmesiyle birlikte yaygınlığına ve kabul görmesine ilişin nasıl bir görüş söz konusudur?
Bu mantık sistemlerinin her birinin geliştirilmesine yol açan anlaşılabilir felsefi veya uygulamayı temel alan gerekçeler bulunmaktadır. Çoklu değerli mantıklar, sezgici mantıklar ve diğer bazı mantık sistemlerinin özellikleri mantık felsefesinde önemli bir tartışma konusunu oluşturmakla birlikte, bu sistemler felsefede yaygın kullanılmamaktadır.
Diğer mantık sistemlerinin kabul görmesine ilişkin nasıl bir yaklaşım benimsenmektedir.
Kipli mantık sistemlerine diğer mantık sistemlerine oranla daha yaygın bir şekilde başvurulmaktadır. İlk olarak Rudolf Camap’ın biçimsel bir semantik geliştirdiği kipli mantık için bugün yaygın olarak başvurulan semantik Saul Kripke tarafından geliştirilmiştir.
Çağdaş mantığındaki kurucusu kimdir?
Alman matematikçi Gottlob Frege (8 Kasım 1848-26 Temmuz 1925) çağdaş mantığın kurucusudur.
Mantığın matematikle olan ilişkisini açıklayınız.
Mantığın matematikle olan ilişkisi oldukça verimli biçimde iki yönlü olarak gelişmiştir. Amaçlandığı gibi, mantık matematiğin daha kurallı bir bilim olmasını sağlamış ve matematikte (sonsuz-küçük sayılara yer veren) standart-dışı analiz gibi yeni alanların ortaya çıkmasını sağlamıştır. Diğer yandan, mantığın tam olarak biçimselleşmesinin ardından matematiğin kavram ve yöntemlerine mantık sistemlerinin özelliklerini ortaya koymak için başvurma olanağı doğmuştur. 20. ve 21 yüzyılda mantık sadece matematikle değil, yeni ortaya çıkan kuramsal dil- bilim, kuramsal bilgisayar bilimi gibi araştırma alanlarıyla da etkileşimli olarak ilerlemiştir. Bu alanlarla da mantığın ilişkisi çift yönlüdür.
Freige'nin Boole mantığına eleştirileri nelerdir?
Frege ne geleneksel mantığın (Aristoteles mantığı) ne de döneminde yaygın kabul gören mantık sistemi olan Boole mantığının mantıkçı programını gerçekleştirmek bakımından yeterli olmadığı sonucuna varmıştır. Frege’nin Boole mantığına eleştirileri şunlardır:
(i) Boole, matematiksel gösterimi matematikteki olağan anlamları ile bağdaşmayan biçimde yeniden kullanmakta, böylece onun matematikteki kanıtlamaları çokanlamlılıktan uzak biçimde temsil etmesine bir engel oluşturmaktadır. (ii) içerdiği ikili yorumlamalarla önerme eklemli ve kategorik/nicelemeli bileşenlerini ayrıştırmakta ve böylece, her iki türden adımları içeren çıkarımların temsilini olanaksız kılmaktadır ve (iii) başka kimi eklemeler olmadan, Boole mantığı (örneğin, “Her insan bir kenti sever” önermesi gibi) iç içe nicelemeli önermeleri ele alamaz.
İngiliz felsefeci Bertrand Russell ile Amerikalı matematikçi ve felsefeci Alfred North Whitehead'in birlikte yazıp hacimli üç cilt hâlinde yayımladıkları eserin adı nedir?
Russell’ın mantık ve mantık felsefesi ile ilgili çalışmaları arasında en önemlisi Amerikalı matematikçi ve felsefeci Alfred North Whitehead (1861-1947) ile birlikte yazıp hacimli üç cilt hâlinde yayımladıkları Principia Mathematica’dır (Matematiğin İl- keleri). Bu yapıtın birinci baskısının 1. cildi 1910, 2. cildi 1912, 3. cildi 1913 yılında yayımlanmıştır. Russell ve Whitehead bu çalışmayı geometrinin temellerini konu alan 4. ciltle tamamlamayı amaçlamışlar ancak bu amaç gerçekleşmemiştir.
Russell'ın Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken naif küme kuramının yol açtığını fark ettiği çatışkıyı açıklayınız.
Russell Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken her özelliğin bir küme belirlediği varsayımına dayanan naif küme kuramının bir çatışkıya yol açtığını fark etmiştir. Gerçekten, eğer her bir özellik için, o özelliği taşıyan nesneler topluluğunun bir küme oluşturduğunu kabul edersek kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerden oluşan topluluğu da bir küme saymamız gerekir. Russell kümesi olarak adlandıracağımız bu kümeyi küme kuramının sembolik dilinde {x: x ?? x} biçiminde göstere- biliriz. Bu tanıma göre, her küme için, (1) Eğer o küme kendisinin elemanı değil ise Russell kümesinin bir elemanıdır ve (2) Eğer küme Russell kümesinin bir elemanı ise, kendisinin de bir elemanıdır. Şimdi, Russell kümesi de bir küme olduğuna göre, Russell kümesinin de kendi kendisinin elemanı olmadığı sorulmalıdır: İlk olarak, Russell kümesinin kendisinin elemanı olduğunu kabul edelim. Ancak bu durumda, tanımı gereği, Russell kümesi sadece kendi kendisinin elemanı olmayan kümeleri içerdiğinden, Russell kümesi Russell kümesinin bir elemanı olamaz. Bu durumda diğer seçeneği deneyip Russell kümesinin kendi kendisinin elemanı olmadığını kabul edelim. Bu durumda da kendi kendisinin elemanı olmayan her küme Russell kümesinin bir elemanı olduğundan, Russell kümesi de Russell kümesinin bir elemanıdır. Böylece bir çelişki oluşturan şu sonuca varırız: Russell kümesi kendisinin bir elemanıdır ancak ve ancak kendisinin bir elemanı değil ise.
Hilbert ve Ackerman'ın ilk kez 1928’de yayımlanan Grundzüge der Theoretischen Logik (Matematiksel Mantığın İlkeleri) içinde ortaya koydukları belit sistemin çıkarım kuralları hakkında bilgi veriniz.
Sistemin çıkarım kuralları
Yerine koyma kuralı: A önermesindeki önerme değişkenleri yerine eşzamanlı olarak aynı önerme değişkeninin her geçtiği yerde aynı önermenin konmasıyla elde edilen önerme, A önermesinin bir sonucudur.
Modus ponens: B formülü A ve A›B formüllerinin sonucudur. x birey değişkeninin A formülünün serbest değişkenleri arasında olmaması koşuluyla, A › 6x B (x) formülü A ›B (x) formülünün bir sonucudur.
x birey değişkeninin A formülünün serbest değişkenleri arasında olmaması koşuluyla, ? x B (x) ›A formülü B (x) ›A formülünün bir sonucudur.
Eksiklik teoremleri ile ilgili bilgi veriniz.
Eksiklik Teoremleri: Gödel’in adının mantık dünyasında ve başta felsefe olmak üzere, diğer alanlarda sıklıkla anılmasını sağlayan başarısı eksiklik teoremleridir. Eksiklik teoremleri Gödel’in Hilbert programı içindeki çalışmalarının bir sonucunda ortaya çıkmıştır. Hilbert programı matematiksel analizin tutarlılığını sadece sonlu kanıtlamalara başvurarak göstermeyi amaçlamaktaydı. Gödel matematiksel analizin temelini oluşturan aritmetiğin tutarlılık sorununun bile bu yolla çözülemeyeceğini göstermiştir.
Birinci eksiklik teorimi ile ilgili bilgi veriniz.
Birinci eksiklik teoremi: Aritmetiği içerecek yeterlilikte tutarlı bir biçimsel sistemde doğru aritmetik önermeleri belirten ancak bu sistemde kanıtlanamayan önermeler vardır.
S sisteminin dili aritmetik önermelerini dile getirmekte yeterlidir.
S sistemi Peano aritmetiğini içerir: Peano belitlerinin her biri S sisteminde kanıtlanabilir.
S tutarlıdır.
O zaman S sisteminde en az bir önerme doğru bir aritmetik önermesini belirttiği halde bu önerme S sisteminde kanıtlanamaz.
İkinci eksiklik teoremi hakkında bilgi veriniz.
Aritmetiği içerecek yeterlilikte tutarlı hiçbir biçimsel sistemde, aritmetiğin tutarlı olduğunu belirten önerme kanıtlanamaz. Bir başka deyişle, S aşağıdaki koşulları sağlayan bir biçimsel sistem olsun:
• S sisteminin dili aritmetik önermelerini dile getirmekte yeterlidir,
• S sistemi Peano aritmetiğini içerir,
• S tutarlıdır.
O zaman S sisteminin tutarlı olduğunu S sisteminin dilinde belirten önerme, Con(S), S sisteminde kanıtlanamaz.
Seçme belitinin bağımsızlığı nedir?
Seçme Belitinin Bağımsızlığı: Seçme (veya seçim) beliti, boş olmayan kümelerden oluşan her aile için (yani, her bir elemanı boş olmayan bir küme olan her küme için) bu ailenin her kümesinden bir eleman seçen bir fonksiyonun varolduğunu söyleyen belittir. Bu belit, saf matematikçilerin neredeyse tümü tarafından doğru kabul edilirken, uygulamalı matematikçilerin çoğunu rahatsız eder. Saf ma- tematikte elde edilen pek çok önemli sonuç seçme belitine veya görünüşte farklı bir önerme olan ama seçme belitine denk bir önermeye dayanmaktadır.
Seçim belitinin denklerinden en sık başvurulanlar arasında bulunan iyi-sıralama ilkesi hakkında bilgi veriniz.
İyi-sıralama ilkesi: Her küme iyi-sıralanabilir. Yani, her S kümesi üzerinde, bu kümenin her boş-olmayan T alt-kümesinin bir R-minimum elemanı (yani, “her t0?T için t0Rt” şartını sağlayan bir t0?T elemanı) olacak şekilde bir R kısmi sıralama bağıntısı vardır.
Seçim belitinin denklerinden en sık başvurulanlar arasında bulunan Zorn lemması hakkında bilgi veriniz.
Zorn lemması: S bir küme, R ise S üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı (yansımalı, antisimetrik ve geçişli bir 2-li bağıntı) olsun. S içinde R bağıntısına göre her zincirin (her iki x, y elemanı için ya xRy ya da yRx şartını sağlayan alt-küme) bir üst sınırı (zincirin tüm elemanlarından büyük bir s ? S elemanı) varsa, S kü- mesinin bir R-maksimal elemanı vardır (Birden çok maksimal eleman olabilir). Seçme belitinin, genellikle “Banach-Tarski paradoksu” olarak adlandırılan, aşağıdaki sonucu fizik evren hakkındaki sağduyuya aykırı görülmektedir.
Seçim belitinin denklerinden en sık başvurulanlar arasında bulunan Banach-Tarski Teoremi ile ilgili bilgi veriniz.
Banach-Tarski teoremi: S = {(x,y,z) ?R 33 : x2+ y2+z2< 1}noktalar kümesi ile belirlenen 3-boyutlu birim küreyi sonlu sayıda parçaya bölelim. Bu parçalardan, sadece döndürme ve taşıma ve yeniden-birleştirme ile (bu işlemler sırasında bir parçanın diğeri içinden geçmesine izin vererek) S küresinin iki kopyası elde edilebilir.
S bir belit sistemi olsun. Bu sistemin dilinde yazılan bir A önermesi için, eğer ne bu A önermesi ne de A önermesinin değili S sisteminin teoremleri arasında değil ise, A önermesi S sisteminde bağımsız bir önermedir. Gödel seçim belitinin küme kuramının diğer belitlerinden bağımsız olduğunu, yani ne seçme belitinin ne de değilinin küme kuramı belitlerinden kanıtlanamayacağını göstermiştir.
Koşul ekleminin farklı yorumlanması gerektiği düşüncesini temel alarak bir mantık sistemi geliştiren ilk çağdaş mantıkçı Clarence Irving Lewis'in çalışmalarını özetleyiniz.
Lewis’in çalışmaları çağdaş kipli mantık sistemlerinin gelişiminin ilk adımı olmuştur. Lewis ile başlayan ilk dönem kipli mantık çalışmalarında mantıkçılar farklı belit sistemleri geliştirmeyi amaçlamışlardır. Lewis kipli mantık sistemleri üzerine o zamana kadar yaptığı ve farklı tarihlerde yayımladığı çalışmalarının sonuçlarını Bir Sembolik Mantık Araştırması (1918) sisteminde toplamıştır. Emil Post buradaki kipli mantık sisteminde olanaksızlık ile yanlışlığın denk olduğunu ortaya koymuştur. Bu durumda mantık yazınında, içlem mantığı olması gereken kipli mantığın kaplamlı önermeler mantığına “çökmesi” denilen durum gerçekleşmiş olmaktadır. Bunun üzerine Lewis, 1918’deki kipli mantık sisteminde yer alan bir beliti değiştirmek zorunda kalmıştır.
Çağdaş mantıkçılar arasında kipli mantık için kullanışlı ve sağduyusal bir yorum geliştirmeyi ilk başaran Rudolf Carnap’ın çalışmalarını özetleyiniz.
Carnap’ın kipli semantiğinde başvurduğu temel kavram “durum betimlemesi” kavramıdır. Durum betimlemesi kavramı Carnap’a göre Leibniz’in “olanaklı dünyalar” ya da Wittgenstein’ın “olanaklı olgu durumları” kavramlarıdır.
Bir durum betimlemesi her bir p atomik önermesi için ya p önermesinin ya da ~p önermesinin (ikisi birden olmamak koşuluyla) yer aldığı bir önermeler kümesi- dir. Böyle bir S durum betimlemesi verildiğinde:
- Bir p atomik önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması p önermesininS durum betimlemesinin (yani S kümesinin) elemanı olması demektir (Sembollerle gösterildiğinde p ?S).
- Bir p atomik önermesinin S durum betimlemesine göre yanlış olması ~p önermesininS durum betimlemesinin (yani S kümesinin) elemanı olması demektir (Sembollerle gösterildiğinde ~p ?S).
- Ana eklemi kip olmayan (zorunluluk veya olanaklılık olmayan) önerme- lerin doğruluğu/yanlışlığı doğruluk tablosu kurallarına koşuttur. Örneğin, bir (A ?B) önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması hem A önermesinin hem de B önermesininS durum betimlemesine göre doğru olması demektir.
- Nicelemeli önermelerin yorumlanması da birinci basamak niceleme man- tığında olduğu gibidir. Örneğin, ?x Fx önermesinin doğru olması x yerine konabilecek her a adı için Fa atomik önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması demektir.
Carnap mantıksal zorunluluk kavramını geçerlilik kavramı ile aynı anlama ge- lecek biçimde tanımlamaktadır. Bunun sonucu olarak:
- ?A önermesinin doğru olması A önermesinin her durum betimlemesine göre doğru olması demektir.
- ?A önermesinin doğru olması A önermesinin en az bir durum betimlemesine göre doğru olması demektir.
Carnap semantiğinin en önemli özelliklerinden biri sayılabilir sonsuz sabit bir evren varsayımına dayanmasıdır. Carnap’ın kipli semantiğinin nasıl işlediğini basit bir modelde görelim. Dilde sadece F yüklem sabitinin bulunduğunu kabul edelim. Evrendeki a ve b nesnelerini göz önünde bulundurduğumuzda, sonsuz sayıda olan durum betimlemeleri 4 grupta toplanarak yazılabilir:
S1Fa, Fb,...
S2 ~Fa, Fb,...
S2 Fa, ~Fb,...
S2 Fa, ~Fb,...
Bu varsayımlara göre örneğin,
- Fa en az bir durum betimlemesinde doğru olduğundan, ?xFx de en az bir
durum betimlemesinde doğru, dolayısıyla ? ?xFx doğrudur.
(Fa? Fb) en az bir durum betimlemesinde doğru olduğundan, ?x ?y (x ?y ?Fa ? Fb) de en az bir durum betimlemesinde doğru, dolayısıyla ? ?x ?
y(x?y ? Fa ? Fb) doğrudur.
Carnap sonsuz ve sabit bir evren varsaydığı için, ?x ?y (x ?y) tüm durum
betimlemelerinde doğru, dolayısıyla zorunlu olarak doğru yani, ??x ?y (x ?y) önermesi doğru olur. Oysa farklı en az iki şeyin varolmasının mantıksal olarak geçerli olması sağduyuya aykırı görünmektedir.
Carnap semantiğinin diğer bir sonucu kipli mantık için yerine koyma ilke- sinden vazgeçmemizin gerekli olduğudur: Eğer p bir atomik önerme ise en az bir durum betimlemesinde p doğru, dolayısıyla ? p doğru bir kipli önerme olur. Yerine koyma ilkesi gereği herhangi bir önermeyi eşzamanlı ve tekbiçimli olarak p yerine koyduğumuzda doğru bir önerme elde edilir. Oysa p yerine (p ? ~p) koyduğumuzda elde ettiğimiz ? (p ?~ p) önermesi yanlıştır.
Kipli önermeler mantığı için Kripke semantiğinin bugün yaygın olarak kullanılan son biçimine göre Kripke modelini açıklayınız.
Kipli önermeler mantığı için Kripke semantiğinin bugün yaygın olarak kullanılan son biçimine göre bir Kripke modeli;
• Boş olmayan (en az 1-elemanlı) bir olanaklı dünyalar kümesi,
• Bu küme üzerinde 2-li bir ulaşılabilirlik bağıntısı,
• Atomik önermelere her bir olanaklı dünyada bir doğruluk değeri atayan bir doğruluk değerlemesinden oluşmaktadır.
Modelin üzerinde kurulduğu olanaklı dünyalar kümesi ve bu küme üzerinde 2-li bağıntı birlikte modelin çerçevesini oluşturur. Kipli önermelerin yorumlan- masında temel adım, her bir olanaklı dünyada tüm önermelerin doğruluğunun belirlenmesidir. Bir atomik önermenin (önerme değişkeninin) w olanaklı dünyasında doğru olması modelin doğruluk değerlemesi tarafından bu atomik önerme- ye “doğru” değerinin verilmesi demektir. Önerme eklemlerinin doğruluk değerine etkisi doğruluk tablolarına göre belirlenir. Örneğin, A önermesi w dünyasındadoğru ise, ~A önermesi bu dünyada yanlış, A önermesi w dünyasında yanlış ise,~A önermesi bu dünyada doğru olur. A ? B önermesinin w dünyasında doğru olması, hem A hem de B önermelerinin w dünyasında doğru olması demektir. 4 A biçimindeki önermelere gelince, A önermesinin w dünyasında doğru olması, A önermesinin w dünyasından ulaşılan her olanaklı dünyada doğru olması demektir. “Bir olanaklı dünyada doğruluk kavramı” elimizde olduğuna göre, kipli bir önermenin bir modelde geçerli olması, önermenin modeldeki her olanaklı dün- yada doğru olması demektir. Kipli bir önermenin bir çerçevede geçerli olması ise, önermenin bu çerçeve üzerinde kurulmuş her modelde geçerli olması demektir.
19. yüzyılın son çeyreğinden bugüne kadarki dönemde mantık çalışmalarının gelişimini özetleyiniz.
Mantık İlk Çağ’dan bu yana bilim ve felsefedeki önemini korumuştur. Özellikle, 19. yüzyılın son çeyreğinden bugüne kadarki dönem ayrıcalıklı bir yere sahiptir. Mantık çalışmaları bu dönemde daha önceki hiçbir dönemde eşine rastlanmayan ölçüde yoğunlaşmış ve çeşitlenmiştir. Mantığın bu dönemdeki hızlı gelişiminin konumuz bakımından en önemli sonucu çözümleyici (analitik) felsefenin doğuşudur. Çağdaş mantığın gündelik dildeki ve bilim dilindeki deyişlerin gerçek yapısını ortaya koyacağına duyulan iyimser düşünce olmasaydı, felsefenin yöntemini anlam çözümlemesi olarak gören bu felsefe yak- laşımı gelişemeyecekti. Analitik felsefenin sonraki gelişmesinde, felsefenin yönte- mi gene mantığa dayanmakla birlikte, anlam çözümlemesiyle sınırlı kalmayıp çok daha geniş kapsamlı olmuştur.
Doğru matematik önermeleri hem zorunlu hem de dünya hakkında bilgi veren önermelerdir. Bunun nasıl olanaklı olduğu sorusuna Mill ve diğer deneyci felsefeciler nasıl cevap vermişlerdir?
Mill ve diğer deneyci felsefeciler bu soruya yanıt olarak, doğru matematik önermelerinin sanılanın aksine, zorunlu önermeler olmayıp bilgi veren tüm tümel önermeler gibi deneyimden yapılmış genellemeler olduğunu kabul etmektedir. Bu yaklaşıma göre 5 + 7 = 12 doğru matematik önermesini her sayma deneyinin bu sonucu vermesinden ötürü doğru sayarız. Gelecek sayma deneylerinin yeterli sayıda farklı sonuç vermesi durumunda bu önermeyi yanlış saymamız gerekecektir.
Yaygın kanıya göre doğru matematik önermeleri hem zorunlu hem de dünya hakkında bilgi veren önermelerdir. Bunun nasıl olanaklı olduğu sorusuna Kant ve onu izleyen düşünürler nasıl yaklaşmıştır?
Kant ve onun yaklaşımını izleyen düşünürlere göre, doğru matematik önermelerin zorunlu olması usun yapısından kaynaklanmaktadır. Bu önermelerin zorunlu olmalarının nedeni bizim olanaklı deneyimimizin sınırlarını belirleyen a priori zaman ve uzam sezgilerimize dayanmalarıdır. Bir başka deyişle, zaman ve uzam sezgilerimiz duyu deneyiminin koşullarını belirlediği için, bu sezgilerimize dayanan doğru matematik önermeleri deneyimle yanlışlanamazlar.
Bugünkü yaygın mantığın gösterimi ile karşılaştırıldığında Beggriffschrift sisteminin dilinin en dikkat çeken özelliğini açıklayınız.
Bugünkü yaygın mantığın gösterimi ile karşılaştırıldığında Beggriffschriftsisteminin dilinin en dikkat çeken özelliği önermelerin 2 boyutlu bir gösterimle sunulmasıdır. Bugün kullandığımız mantık gösterimi ise 1 boyutludur yani önermeler yan yana yazılan sembol dizilerinden oluşmaktadır. Frege’nin mantık gösteriminde ise kimi önermeler uygun deyimlerin alt alta yazılmasını gerektirmektedir.