Sembolik Mantık Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim

Küme nedir?

Varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğudur.

Hiçbir elemanı olmayan kümeye ne denir?

Boş küme.

Boş küme hangi sembolle gösterilir.

{}

Haftanın günlerinin oluşturduğu kümeyi yazınız.

{Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar}

Sonlu küme nedir?

Bir kümenin eleman sayısı doğal sayı ise bu kümeye sonlu küme denir.

Haftanın günlerinin oluşturduğu küme kaç elemanlıdır?

7

Taşıyıcı küme ya da evreni ne demektir?

Modelin üzerine kurulduğu küme, modelin taşıyıcı kümesi ya da evreni olarak adlandırılır.

Yüklemin kaplamı nedir?

Evrenin yüklem sembolünü eşleştirdiğimiz altkümesi, evrende bu yüklemin belirttiği özelliğe sahip olan nesnelerin kümesidir. Bu küme, yüklemin kaplamı olarak adlandırılır.

Bir önermenin bir küme üzerindeki doğrusal açılımı ne demektir?

Bir A önermesinde geçen tüm nicelemelerin bir S kümesine göre elenmesiyle elde edilen ifade, A önermesinin S kümesindeki bir doğrusal açılımı olarak adlandırılır.

?x (Fx › ?y (Gx ? Gy)) önermesinin {a, b} kümesindeki açılımını yazınız.

(Fa › (Ga ? Ga) ? (Ga ? Gb)) ?
(Fb › ((Gb ? Ga) ? (Gb ? Gb)))

Kümenin tanımını yazınız.

Küme, varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğudur. 

Bir ? nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “? nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak ne şekilde gösterilir?

Bir ? nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “? nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak “? ? S” şeklinde gösterilir.

Alt kümeyi tanımlayınız.

S kümesinin tüm elemanları T kümesinin de elemanları ise, “S kümesi
T kümesinin altkümesidir” denir. 

alt küme sembolik olarak hangi biçimde gösterilir?

Bu durum sembolik olarak “S ? T” biçiminde
gösterilir.

Modelin tanımını yazınız.

S sonlu bir küme ise, bir önermede, önerme kümesinde veya çıkarımda geçen her yüklem sembolü için S kümesinin bir altkümesi ve her ad sembolü
için S kümesinin bir elemanından oluşan yapı, bu önermeyi, önerme kümesini
veya çıkarımı denetleyebileceğimiz bir modeldir.

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › Hx)) önermesini denetleyecek bir model oluşturunuz.

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › Hx)) önermesinde, F, G ve H yüklem sembolleri ve A ad
sembolü geçmektedir. Dolayısıyla, bu önermeyi denetleyebileceğimiz bir M modeli,
modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H yüklemlerinin herbiri için SM
kümesinin FM, GM ve HM altkümelerinden ve A ad sembolünün karşılığı olarak SM
kümesinin bir AM elemanından oluşmalıdır. O halde, aşağıdaki modellerin herbiri
?x ((Fx ? GA) ? (Gx › Hx)) önermesini denetleyebileceğimiz birer modeldir:

(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {b}, AM = a
(b) SM= {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, HM = {b}, AM = c
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a}, HM = {a}, AM= a

altküme yüklemin “kaplamı”'nı açıklayınız

Bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanması, o kümede o yüklemin belirttiği özelliğe sahip elemanlardan oluşan altkümenin belirtilmesidir. Bu altküme yüklemin “kaplamı” olarak adlandırılır.

Bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması ne şekilde gerçekleşir?

Bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması, o ad sembolünün kümede işaret ettiği elemanın belirtilmesidir

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımında hangi ad sembolleri geçmektedir?

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımında A ve B ad sembolleri geçmektedir.

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımında yüklem
sembolleri hangileridir?

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımında, F, G ve H yüklem
sembolleridir.

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımını denetleyeceğimiz bir M modelinde kümenin elemanlarını yazınız.

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımında, F, G ve H yüklem
sembolleri, A ve B ad sembolleri geçmektedir. Dolayısıyla, bu çıkarımı denetleyebileceğimiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H
yüklemlerinin herbiri için SM kümesinin FM, GM, HM altkümelerinden, A ve B ad
sembollerinin karşılığı olarak SM kümesinin AM ve BM elemanlarından oluşmalıdır.

?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy ´ HB) çıkarımını denetleyeceğiniz bir model oluşturunuz.

Aşağıdakilerin her biri ?x ((Fx ? GA) ? (Gx › GB)) ? ?y (Gy - HB)
çıkarımını denetleyebileceğimiz bir modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {a}, AM = a, BM = a
(b) SM = {a, b,c}, FM = GM = HM = {a}, AM = a, BM = b
(c) SM = {a, b}, FM = { }, GM= {a}, HM = {b}, AM = b, BM = b

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesinde yüklem sembolleri hangileridir?

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesinde, F ve G yüklem sembolleridir.

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesinde ad sembolleri hangileridir?

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesinde A ve B ad sembolleridir.

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesini denetleyeceğiniz bir model oluşturunuz.

Aşağıdakilerin her biri {?x ?y (FA ?~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesini denetleyebileceğimiz bir modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, AM = a, BM = b,
(b) SM = {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, AM = c, BM = c,
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a,b}, AM = a, BM = a

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesini denetleyeceğimiz bir M modelinde kümenin elemanlarını yazınız.

bu önermeler kümesini denetleyebileceğimiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F ve G yüklemlerinin herbiri için SM kümesinin FM ve GM altkümelerinden, A ve B ad sembollerinin karşılığı olarak SM kümesinin AM ve BM elemanlarından oluşmalıdır.

Nicelemeli Bir Önermenin Bir Evrende Açılımına bir örnek veriniz.

A = ?y ((Fx ? Gy) ? (Gy › Hx)) olsun. A formülünün tek serbest değişkeni
x olduğundan, A(a) ifadesi A formülünde x değişkeninin her geçişi yerine a
elemanının konması ile elde edilir: A(a) = ?y ((Fa ? Gy) ? (Gy › Ha)) . Aynı
şekilde, A(b) = ?y ((Fb ? Gy) ? (Gy › Hb)) .

Nicelemeli önermelere bir örnek veriniz.

A = ?x ((FA ? Gy) ? (Gy › Hx)) olsun. A formülünün tek serbest değişkeni
y olduğundan, A(a) ifadesi A formülünde y değişkeninin her geçişi yerine a
elemanının konması ile elde edilir: A(a) = ?x ((FA ? Ga) ? (Ga › Hx)). Aynı
şekilde, A(b) = ?x ((FA ? Gb) ? (Gb ›Hx))