Matematik 1 Dersi 7. Ünite Sorularla Öğrenelim

Bir çok değişkenli fonksiyonun (x,y) noktasındaki değeri (y,x) noktasındaki değere eşit midir?

Sorunun cevabını bulmak için çok değişkenli bir fonksiyonu göz önünde bulunduralım.

Yapılan bir çalışmada insanların izledikleri çeşitli filmler için belirli bir filmi beğenip beğenmedikleri ve bu filmleri neden beğendikleri ya da beğenmedikleri sorulmuştur. Çalışma sonucunda filmin senaryosu, oyuncuları, görsel efektleri ve yönetmeninin beğenilip beğenilmemesi için etkili kriterler olduğu saptanmıştır. Bir filmi beğenilmesi ölçen bir fonksiyon hangi isimle adlandırılır?

Bir fonksiyonun bağlı olduğu değişken sayısı birden fazla ise, o fonksiyona çok değişkenli fonksiyon denir. Fonksiyonun bağlı olduğu değişken sayısı iki ise fonksiyona iki değişkenli, fonksiyonun bağlı olduğu değişken sayısı üç ise üç değişkenli, … denir. Filmin beğenilmesini etkileyen 4 değişken (senaryo, oyunculuk, yönetmen ve görsel efektler) olduğu için bu fonksiyonda dört değişkenli fonksiyon adı verilir.

Tek değişkenli fonksiyonların grafikleri ile çok değişkenli fonksiyonların grafikleri arasındaki en temel fark nedir?

Tek değişkenli fonksiyonların grafikleri çizildiğinde bir eğri elde edilir. İki değişkenlerin grafikleri çizildiğinde ise bir yüzey elde edilir.

Bir önceki (15) soruda verilen f(x,y)=x²+y²+5 fonksiyonu için, bütün ikinci kısmi türevler sabit fonksiyon çıktı. Bu sebepten (2,3) noktası gibi alınan herhangi bir nokta için de ikinci türev testi uygulasaydık D=4 bulacaktık. (2,3) gibi rastgelen alınan bir nokta da yerel minimum noktası olmaz mı?

Yerel maksimum ya da yerel minimum noktaları kritik noktalardır. Yani bu noktalarda kısmi türevler, eğer varsa, sıfırdır. Ancak her kritik nokta yerel maksimum ya da yerel minimum noktası olmak zorunda değildir. Herhangi bir noktayı ikinci türev testine sokabilmek için bu noktanın öncelikle kritik nokta olup olmadığı araştırılmalıdır. Soruda söylediği gibi kritik nokta olmayan herhangi bir nokta ikinci türev testine sokulamayacağı için yerel minimum noktası olamaz.

Termometrede hava sıcaklığı 30 derece görülürken hava sıcaklığının 40 derece hissedilmesinin nedeni nedir?

Havanın nemli olması terin buharlaşmasını, dolayısıyla vücut ısısının dışarı atılmasını zorlaştırmaktadır. Bu nedenle sıcaklık olduğundan çok daha fazla gibi hissedilebilmektedir. Nem miktarına bağlı olarak sıcaklık olduğundan çok daha fazla ya da çok daha az hissedilebilir.

f(x)= 2x-3y olarak tanımlanmış tek değişkenli bir fonksiyondur. x =5 ve y= 3 için işlemin sonucu kaçtır?

f(x)= 2x-3y

f(5)= 2.5- 3.3

f(5)=1

f(x, y)= x² + y²- 5 olarak tanımlanmış iki değişkenli fonksiyonlardır. (3, 5) değişkenleri için işlemin sonucu nedir?

f(x, y)= x² + y²- 5

f(3, 5)= 3² + 5²- 5

f(3, 5)= 9+ 25-5

f(3, 5)= 29

f (x, y)= 2x+y ve g (x, y)= x³+y²+4 olarak tanımlanmış iki değişkenli fonksiyonlardır. (2,4) değişkenleri için f (x, y)- g (x, y) işleminin sonucu nedir?

f (x, y)= 2x+y ve                    g (2, 4)= 2³+4²+4

f (2, 4)= 2.2+4                        g (2, 4)= 8+16+4

f (2, 4)= 8                               g (2, 4)= 28

f (2, 4)- g (2, 4) = 8-28

f (2, 4)- g (2, 4) = -20

f(x, y)= 3x+5y ve g (x, y)= x³+y²-4 olarak tanımlanmış iki değişkenli fonksiyonlardır. (2,4) değişkenleri için f (x, y)- g (x, y) işleminin sonucu nedir?

f(x, y)= 3x+5y ve                   g (2, 4)= 2³+4²-4

f (2, 4)= 3.2+5.4                     g (2, 4)= 8+16-4

f (2, 4)= 26                             g (2, 4)= 20

f (2, 4)- g (2, 4) = 26-20

f (2, 4)- g (2, 4) = 6

p (x, y)= x³-y² iki değişkenli bir fonksiyonundur. p (3,4) için işlemin sonucu nedir?

p (x, y)= x³-y²

p (3, 4)= 3³- 4²

p (3, 4)= 27-16

p (3, 4)= 11

Türev ne anlama gelmektedir?

Türev fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini gösterir.

Türev ile fonksiyon arasındaki ilişkinin türü nasıldır?

Türev fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini gösterir.  Türev büyükse fonksiyon hızlı, Türev küçükse fonksiyon yavaş değişir. Türevin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artıyor, türevin negatif olduğu aralıklarda ise fonksiyon azalır.