aofsoru.com

Matematik 1 Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Limit, Süreklilik Ve Türev

1. Soru

Türevi olan sürekli bir fonksiyon hangi aralıklarda artan ve azalandır?

Cevap

f : [a, b]ℜ fonksiyonu sürekli ve (a, b) açık aralığının her noktasında türevi olan bir fonksiyon olsun.

1. Eğer her x ∈ (a, b) için f '(x) > 0 ise f fonksiyonu [a, b] aralığında artandır.

2. Eğer her x ∈ (a, b) için f '(x) < 0 ise f fonksiyonu [a, b] aralığında azalandır.


2. Soru

Limitler_T1S6

işleminin sonucu nedir?

Cevap

Limitler_T1C6


3. Soru

Limitler_T1S7

işleminin sonucu nedir?

Cevap

Limitler_T1C7A

?/? belirsizliği oluşmaktadır.

Rasyonel ifade üzerinde bir dizi işlem yapalım.

Pay ve paydayı x2 ye bölelim.

Limitler_T1C7B

= 6 + 0 - 0  
2 + 0 + 0
= 6  = 3
2

4. Soru

Cevap


5. Soru

Hem süreklilik hem de ara değer teoremini bir örnek üzerinde açıklayınız?

Cevap

Eğer otomobillerin hız göstergesi sürekli bir fonksiyon olarak düşünülürse, otomobilin hızı 60 km/s’e çıkmadan önce hız göstergesi 60km/s’den küçük her hızı mutlaka çok kısa bir süre de olsa göstermesi, hem sürekliliğe hem de ara değer teoremine bir örnek olarak verilebilir.


6. Soru

Cevap


7. Soru

Türevin tanımı yapınız ve matematikçilerin türev için buldukları kurallardan iki tanesini maddeler halinde belirtiniz?

Cevap


8. Soru

Cevap


9. Soru

Cevap


10. Soru

Yukarıdaki fonksiyonun mutlak maksimum noktasını bulunuz?

Cevap

y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktaları (2, 5), (4, 6) dır. y = f(x) fonksiyonunun mutlak maksimum noktası (4, 6) dır. Mutlak maksimum (en büyük) değeri f(4) = 6 dır.


11. Soru

Türev nedir?

Cevap

Türev bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır.


13. Soru

Bugün kullanılan limit kavramını kimler son haline getirmiştir ?

Cevap

Bu gün kullanılan limit kavramı ise 19. yy.’da özellikle Fransız matematikçi Cauchy (1789 – 1857) ile Alman matematikçi Weierstrass (1815 – 1897) ın katkıları ile olgunluğa ulaşmıştır.


14. Soru

Limit kavramı hangi tarihte ve kim tarafından ortaya atılmıştır ?

Cevap

Limit kavramı tarihte ilk kez Datça’lı Eudoxus (M.Ö. 408 – 355) yıllarında ortaya atılmıştır.


15. Soru

İki fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümü limit teoremine göre nasıl hesaplanır?

Cevap

İki fonksiyonun toplamının limiti; limitler toplamına eşittir. İki fonksiyonun çarpımının limiti; limitler çarpımına eşittir. İki fonksiyonun bölümünün limiti; paydanın limiti sıfırdan farklı olmak üzere, limitlerin bölümüne eşittir.


16. Soru

Türev ne zaman ve kim tarafından geliştirilmiştir?

Cevap

Türev 17. yüzyılda İngiliz bilim adamı Newton (1642 – 1727) ile Alman bilim adamı Leibniz (1646 – 1716) tarafından geliştirilmiştir.


17. Soru

Türev hangi bilimlerde daha çok kullanılır ve hangi kavramla ilişkilidir ?

Cevap

Türev; fizik, kimya, mühendislik gibi alanlardan tıp, ekonomi ve sosyal bilimlere kadar tüm uygulamalı bilimlerin vazgeçilmez aracıdır. Türev kavramı genel limit kavramı yardımı ile anlatılmaktadır.


18. Soru

Sürekli fonksiyon tanımı nedir?

Cevap

Eğer, limx-xa


19. Soru

Mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri ne demektir? Açıklayınız?

Cevap

Bir fonksiyonun aldığı değerlerin varsa en büyüğüne fonksiyonun mutlak maksimum değeri, aldığı değerlerin varsa en küçüğüne de fonksiyonun mutlak minimum değeri denir. [a, b] kapalı aralık üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyon en az birer noktada mutlak maksimum ve mutlak minimum değerini alır.


20. Soru

Türevde yerel maksimum ve yerel minimum noktaları nasıl bulunur, açıklayınız?

Cevap

Bir fonksiyonun ikinci türevi negatif ise bu nokta yerel maksimum noktası, pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Eğer ikinci mertebeden türev sıfır ise, maksimum ya da minimum nokta olup olmadığına bu yöntemle karar verilemez, birinci türevin işaretiyle karar verilir.


22. Soru

Exodus’un limit yaklaşımı nasıl açıklanabilir ?

Cevap

Exodus limitin eğrilerle sınırlanmış alanların, üçgen veya dikdörtgenin alanları yardımıyla bulunabileceğini söylemiştir. Eudoxus’un düşüncesi bir çemberin içine çizilen bir düzgün çokgenin kenar sayısını 4, 8, 16, 32, 64 ... gibi her seferinde iki kat artırdığımızda, çokgenlerin giderek çembere ve çokgenlerin alanının da artarak dairenin alanına yaklaşması ile açıklanabilir.


23. Soru

f(x) = 4x2 – 5, x < 2 ise

f(x) = 3x + 5, x? 2 ise

f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limiti kaçtır?

Cevap

f(x) = 4x2 – 5, x < 2 ise

f(x) = 3x + 5, x? 2 ise

f(x) fonksiyonunun kritik noktası 2’dir. Fonksiyon x’in 2’den büyük veya küçük oluşuna göre 2 şekilde tanımlanmaktadır.

Bu tip fonksiyonları çözerken sağdan ve soldan yaklaşımın limitlerini ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.

x’e soldan yaklaştığımızda 4x2 – 5 fonksiyonunu kullanırız.

Limx›2-  (4x2 – 5) = 4.22 – 5

Limx›2-  (4x2 – 5) = 11

x’e sağdan yaklaştığımızda 3x + 5 fonksiyonunu kullanırız.

Limx›2+ = 3x + 5 = 3.2 + 5 = 11

Sağ ve sol limitler eşit olduğundan f(x) fonksiyonunun x ›2 için limiti 11’dir.


24. Soru

Cevap


26. Soru

Yukarıdaki fonksiyonun yerel maksimum noktasını bulunuz?

Cevap

x = 2 noktası yerel maksimum noktasının apsisi olduğuna göre f(2) = 5 yerel maksimum değeri ve (2, 5) noktası yerel maksimum noktasıdır. x = 4 noktası yerel maksimum noktasının apsisi olduğuna göre, f(4) = 6 yerel maksimum değeri ve (4, 6) noktası yerel maksimum noktasıdır.


27. Soru

Limitler_T1S14

İşleminin sonucu nedir?

Cevap

Limitler_T1C14

x yerine 2 koyarsak 0/0 belirsizliği oluşur.

İfadeyi çarpanlarına ayırırsak;

  x6 – 64  
= (x3 + 8)(x3 – 8)  
x3 – 8
x3 – 8

= x3 + 8 sonucunu elde ederiz. Bunu limit ifadesinde yerine koyarsak;

limx›2 (x3 + 8) = 8 + 8 = 16 buluruz.


28. Soru

f(x) = x2 nin x=2 olduğundaki limiti nedir ve nasıl açıklanır?

Cevap

x değişkeni 2 sayısına yaklaşırsa f(x) = x2 de 2’nin karesi olan 4’e yaklaşır. Yani x→2 ise x2→ 4 olur. İşte bu durumda x → 2 için veya x = 2 noktasında f fonksiyonunun limiti 4’tür denir ve limx-2f(x)= limx-2x2=4 biçimde gösterilir.


29. Soru

Cevap


30. Soru

Cevap


31. Soru

Limx›3  (|x – 4|) 

İşleminin sonucu nedir?

Cevap

Limitlerin mutlak değer özelliğinden;

limx›3 (|x – 4|) 

= |limx›3 (x – 4)|

Şimdi mutlak değer içine almadan Limx›3 f(x) değerini bulalım

Limx›3 (x – 4) = 3 – 4 = -1

Şimdi bulduğumuz değerin mutlak değerini alalım.

|limx›3 (x – 4)|= | - 1| = 1


32. Soru

Cevap


33. Soru

Cevap


34. Soru

f(x) = x3 + 2x + 5 = 0 denkleminin [–2, 1] aralığında bir kökü var mıdır?

Cevap

f(x) = x3 + 2x + 5 = 0 denkleminin [–2, 1] aralığında bir kökü olup olmadığını tespit etmek maksadıyla, fonksiyonun tanım kümesinin uçlarında aldığı değerlere bakılacak olursa, f(–2) = –7 ve f(1) = 8 olduğu görülür. Ara Değer Teoremine göre, 0 sayısı –7 ile 8 arasında olduğundan dolayı, fonksiyon en az bir noktada sıfır değerini almak zorundadır.


35. Soru

Cevap


36. Soru

Limitler_T1S5

İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Limitler_T1C5A

x = 4 için 0/0 belirsizliği oluşmaktadır.

x2 + x – 20 = (x - 4)(x + 5)

x2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)

olduğundan;

Limitler_T1C5B


37. Soru

Cevap


38. Soru

Süreklilik özelliği nedir ?

Cevap

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması fonksiyona süreklilik özelliğini kazandırır.


39. Soru

Ara değer teoremi ne demektir? Açıklayınız?

Cevap

Mutlak maksimum ve mutlak minimum özelliklerine ilaveten sürekli fonksiyonların bir başka özelliği ise [a, b] kapalı aralığı üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyon aldığı iki değer arasındaki her değeri en az bir noktada alır. Bu özelliğe “Ara Değer Teoremi” denir.


40. Soru

Yukarıdaki fonksiyonun mutlak minimum noktasını bulunuz?

Cevap

y = f(x) fonksiyonunun mutlak minimum noktası (5, 1) dir. Mutlak minimum (en küçük) değeri f(5) = 1 dir.


41. Soru

Limx›2  (3x2 – 4x + 9) Limitinin sonucu nedir?

Cevap

Polinom şeklindeki fonksiyonların x = a nokasındaki limitleri f(a) ile bulunur.

f(x) = 3x2 – 4x + 9

= 3.22 – 4.2 + 9

= 13


42. Soru

Cevap


43. Soru

Cevap


44. Soru

Cevap


Yukarı Git

Sosyal Medya'da Paylaş

Facebook Twitter Google Pinterest Whatsapp Email