Genel Matematik Dersi 4. Ünite Sorularla Öğrenelim

Üstel fonksiyon nedir?

a pozitif bir gerçel sayı ve a ≠ 1 olmak üzere f (x) = a^x  şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Üstel fonksiyon tanımında a = 1 olursa ne olur?

a = 1 durumunda her x gerçel sayısı için;

a^x  = 1^x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.

a > 1 ve x′ler pozitif gerçel sayı ise a^x hakkında ne söylenebilir? 

a > 1 ve x!ler pozitif gerçel sayı ise a^x > 1 ’dir.

a > 1 ve x′ler negatif gerçel sayı ise a^x hakkında ne söylenebilir?

a > 1 ve x' ler negatif gerçel sayı ise

0 <  a^x < 1 ’dir.

a  > 1 ise a^x fonksiyonu nasıl bir fonksiyondur?

a > 1 ise a^x fonksiyonu artan fonksiyondur. Çünkü f (x) = a^x üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x₁ < x₂ için a^x1 < a^x2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.

a^x = a^y üslü denkleminden hangi eşitlik elde edilir?

a^x = a^y => x = y ′dir.

a^x = b^x eşitliği a = b olmasını gerektirir mi?

a^x = b^x  eşitliği a = b olmasını gerektirmez.

Örneğin, a = –1, b = 1 ve x = 2 ise

(- 1)² = 1 ve 1²  = 1 olur.

Her x gerçel sayısı için f(x) = a^x  üstel fonksiyonun görüntü kümesi nedir?

Her x gerçel sayısı için a^x  > 0 olduğundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,∞) açık aralığıdır.

Eğer fonksiyon grafiği veriliyorsa bu grafiğe bakarak fonksiyonun bire-bir mi örten mi olduğunu nasıl anlarız?

f:  R → R fonksiyonunun grafiği verildiğinde, her y ∈ R noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.

Üstel fonksiyonlar bire-bir ve örten midir?

Üstel fonksiyonlar bire-bir fonksiyonlardır. Çünkü, üstel fonksiyonun grafiğinde yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyor. Ancak değer kümesi olarak gerçel sayılar alındığında üstel fonksiyonlar örten olmaz. Çünkü, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz.

Hangi koşulda üstel fonksiyonlar örten fonksiyon olur?

Değer kümesi pozitif sayılar olarak alınırsa üstel fonksiyonlar örten olur. Yani;

f:  R →  (0, ∞)

f(x) = a^x

şeklinde tanımlanmışsa
üstel fonksiyonlar örten olur.

Üstel fonksiyonların tersi var mıdır? 

Eğer;

f:  R →  (0, ∞)

f(x) = a^x

şeklinde tanımlanmışsa
üstel fonksiyonlar bire-bir ve örten olur.
Bu sayede üstel fonksiyonun tersi tanımlanabilir.

2⁵ , 2^-5, 2¹⁵ , 1 sayılarını büyükten küçüğe sıralaması nasıldır?

Verilen sayıların büyükten küçüğe sıralaması aşağıdaki şekilde olur:

2¹⁵ > 2⁵ > 1 > 2^-5

f:  R →  (0, ∞) ,  f(x) = 3^x şeklinde tanımlı üstel fonksiyonu verilsin. Bu

Üstel fonksiyon f(x) = 3^x şeklinde tanımlı olduğundan,

x = 2 için f(2) =  3² = 9

ve

x = -1 için f(-1) =  1/3

Bu durumda, f(2) + f(-1) = 9 + (1/3) = (28/3) olarak bulunur.

2³ · 2⁵ · 2^-4 işleminin sonucu kaçtır?

a^{x + y} = a^x a^y özelliğinden faydalanılarak;

2^{3 + 5 + (-4)}  = 2⁴ = 16

olarak bulunur.

f:  R →  (0, ∞) , f(x) = 2^3x-1 şeklinde tanımlı f fonksiyonu verilsin. Bu durumda f(2x) fonksiyonu nedir?

 f(x) = 2^3x-1 olduğundan,

f(2x) = 2^3.(2x)-1= 2^6x-1 ’dir.

f(x) = 5^x-1 fonksiyonu için, f(k) = 624 olduğuna göre, k değerini nedir?

f(x) = 5^x-1 olduğundan,

f(k) = 5^k - 1 = 624

f(k) = 5^k  = 625

k = 4 

olur

f(x) = 2^x + 3^x  fonksiyonu için f(2) + f(0) değeri kaçtır?

f(x) = 2^x + 3^x  ise,

f(2) = 2² + 3² = 13

f(0) = 2⁰ + 3⁰ = 2

f(2) + f(0) = 13 + 2 = 15

f(x) = 12^x - 11^x  fonksiyonu için f(2) - f(1) farkı kaçtır? 

f(x) = 12^x - 11^x  olduğundan;

f(2) = 12² - 11² = 144 - 121 = 23

f(1) = 12¹ - 11¹ = 1

f(2) - f(1) = 23 - 1 = 22 olur.

Bir bakteri topluluğunda bakteriler her günün sonunda 2 katı kadar çoğalmaktadır. Başlangıçta 10 bakterinin bulunduğu bu toplulukta 10. gün sonunda kaç bakteri olacaktır?

0. gün → 10 = 10 • 2⁰
1. gün → 20 = 10 • 2¹
2. gün → 40 = 10 • 2²
3. gün → 80 = 10 • 2³

                   ?
t. gün → S(t) = 10 • 2^t

t = 10 için 10. gün sonunda,

S(10) = 10 • 2¹⁰ = 5 • 2¹¹ kadar bakteriye ulaşır.

f(x) = (2^x -1 ) •  (2^x - 2)²  olduğuna göre, f(2) = 6.k ise k değeri kaçtır?

f(x) = (2^x -1 ) •  (2^x - 2)² olduğundan,

f(2) = (2² -1 ) •  (2² - 2)² = 3 • 4 = 12 'dir

f(2) = 6 • k = 12 => k= 2 olur.

Logaritma fonksiyonu nedir?

 a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere;

f:  R → R⁺ , f(x) = a^x

üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna, logaritma fonksiyonu denir ve log_a ile gösterilir.

Buna göre;

log_a  : R⁺ → R

y = log_a  x <=> x = a^y

Logaritma fonksiyonunun tanımında a = 1 olabilir mi?

y = a^x üstel fonksiyonunda a tabanı 1’den farklı pozitif sayıydı. Bunun tersi olan logaritma fonksiyonunda da a tabanı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.

10 tabanına göre logaritmaya ne denir?

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir.

e tabanına göre logaritmaya ne denir.?

e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.

Bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa, ters fonksiyonunun grafiği nasıl bulunur?

Bir fonksiyonun grafiğini biliniyorsa, ters fonksiyonunun grafiğini bulabilmek için y = x doğrusuna göre yansımasını almak yeterlidir.

Inx fonksiyonun grafiği hangi üstel fonksiyonunun y = x doğrusuna göre yansımasıdır?

y = e^x  üstel fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre yansımasıdır.

log25 + log5 − 3log5 ifadesinin belirttiği sayı kaçtır?

Logaritma özellikleri sırasıyla kullanıldığında,

log25 + log5 − 2log5 = log25.5 − log5³

= log125 − log125 = 0

log_a 36 = 2 ise a’nın değeri kaçtır?

Logaritma fonksiyonunun tanımından a² = 36 olur.

Buradan a = 6 ve a = −6 olarak bulunur. Fakat logaritma fonksiyonunun tanımı gereğince a = 6’dır.

log2 ≈ 0,3 ise log16 kaçtır?

log2 ≈ 0,3 ise,

log16 =  log2⁴

= 4 • log2

≈ 4 • 0,3

=1.2

olarak bulunur.

Inx = y olduğuna göre logx² nedir?

Inx = y olduğundan e^y= x 'dir. 

logx² = 2 • logx

=2 • y • loge 'dir

Üstel fonksiyon nedir?

a pozitif bir gerçel sayı ve a 1'den farklı olmak üzere f(x)=a^x şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

f(x)=x³ bir üstel fonksiyon mudur?

Hayır değildir. x'in tabanda değil üs'te olması gerekir. Örneğin 3^x bir üstel fonksiyondur.

Bir fonksiyonun grafiğini kullanarak birebir veya örten olup olmadığını anlayabilir miyiz?

Evet anlarız. Her y noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.

Bir fonksiyonun hem birebir hem örten olup olmadığının anlaşılması için grafiksel yöntem nedir?

Her y noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Bu durumda hem örten hem birebir olması için söz konusu paralel doğruların fonksiyon grafiğini yanlızca bir noktadan kesmesi gerekir.

Logaritmik fonksiyon nedir?

f(x)=a^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve f^-1(x)=log_ax  şeklinde gösterelir. Bu fonksiyonu kısaca y=log_ax şeklinde de yazıyoruz.

Doğal logaritma kavramını tanımlayınız.

e (e=2, 7182818284590...) tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir.

Bayağı logaritma nedir?

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir. 10 tabanına göre logaritma, çok kullanılan bir logaritma olduğundan log₁₀x gösterimi yerine tabana herhangi bir şey yazmadan logx gösterimi kullanılır.

log₂64=?

2⁶=64 olduğundan log₂64=6

logxy=logx+logy olduğunu gösteriniz.

logx=u ve logy=v diyelim. Bu durumda x=10^u ve y=10^v’dir. Üstel fonksiyonların özelliklerini kullanırsak, xy=10^u10^v=10^u+v olduğunu görürüz. Logaritma tanımından da logxy=u+v=logx+logy

log x/y=logx-logy olduğunu gösteriniz.

logx=u

logy=v

olsun. Bu durumda x/y=10^u/10^v=10^u-v olacaktır. Eşitliğin her iki tarafının da logaritmasını aldığımızda ise:

log(x/y)=log10^u-v=u-v=logx-logy olur

logx+logy-logz ifadesini tek logaritmada nasıl gösterebiliriz?

logx+logy=log(xy)

logxy-logz=log(xy/z) olduğundan:

logx+logy-logz=log(xy/z) olur

log2+log5-log10=?

log2+log5=log(2*5)=log10

log10-log10=0

log20+log50-log10=?

log20+log50-log10=log(20*50/10)=log100=2

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar nerelerde kullanılır, örnekler veriniz?

Nüfus hesaplamasında (eğer artış hızının sabit kalacağı varsayımı varsa) ve faiz hesabında (eğer faiz oranının yıllar boyunca sabit kalacağı varsayımı varsa) üstel ve logaritmik fonksiyonlar kullanılır.

f(x)=-3^x bir üstel fonksiyon mudur?

Hayır değildir. Örneğin x=1/2=0.5 için -3^0.5 gerçel sayılarda tanımlı değildir. Üs (x) negatif olabilir lakin f(x)=a^x şeklinde tanımlanan bir üstel fonksiyon için, taban (a) negatif olamaz, dahası a>1 olmalıdır.

f(x)=a^x ve g(x)=b^x ise h(x)=(f*g)(x)=?

h(x)=a^x b^x =(ab)^x olur.

f(x)=a^x ve g(x)=b^x ise h(x)=f(x)/g(x)=?

h(x)=a^x /b^x =(a/b)^x

f (x) = a^x üstel fonksiyonunun tanım ve değer kümesi nedir?

Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir; değer kümemizi de yine gerçel sayılar kümesi olarak alabiliriz. Biz daha çok a > 1 durumu ile ilgileneceğiz

f (x) = a^x üstel fonksiyonunda a = 1 olursa ne olur?

Her x gerçel sayısı için a^x = 1^x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.

f (x) = a^x üstel fonksiyonunda neden a > 0 alınmaktadır?

Mesela a = -2 alamaz mıydık? (-2) sayısının tamsayı kuvvetlerini alabiliriz. Mesela, (-2)² = 4,

(-2) ³ = -8 ¸seklinde tamsayı kuvvetleri anlamlıdır. Ancak herhangi bir gerçel sayı kuvvetini aldığımızda bu anlamlı olmayabilir. Örneğin, (-2) ^{1 /2} =  olur. Ancak  bir gerçel sayı degildir. Çünkü hiçbir gerçel sayının karesi -2 değildir.

Her x gerçel sayısı için a^x sayısı daima pozitif bir gerçel sayı olduğuna göre, x = 0 için  a^x  kaçtır?

x = 0 için  a⁰ = 1’dir.

f (x) = a^x üstel fonksiyonunda a > 1 ise a^x fonksiyonu nasıl fonksiyondur?

f (x) = a^x üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x₁ < x₂ için a^x1 < a^x2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.

f (x) = a^x üstel fonksiyonun görüntü kümesi nedir?

Her x gerçel sayısı için a^x > 0 oldugundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,?) açık aralığıdır

Üstel fonksiyonlar örten midir?

Değer kümesi olarak gerçel sayıları aldığımızda üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örneğin, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz. Ancak değer kümesini pozitif sayılar olarak alırsak üstel fonksiyonlar örten olur.

Dolayısıyla üstel fonksiyonu bundan sonra f : R › (0,?) f (x) = a^x ¸seklinde fonksiyonlar olarak düşünecegiz.

(0,?) aralığını R⁺ ile de gösteriyoruz. Bu şekilde düşündüğümüzde, üstel fonksiyonlar, bire-bir ve örten olur.

Bu sayede a^x ’in ters fonksiyonunu tanımlayabileceğiz.

e harfi nedir?   

e = 2, 7182818284590 ... ¸seklinde bir irrasyonel sayıdır. Bu e gösterimi, ilk kez 'Isviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 1727 yılında exponential kelimesinin ilk harfi e olduğu için kullanılmıştır. e sayısı da sonuçta bir sayıdır ve 2 ile 3 arasındadır.

2^x = 16 eşitliği verildiğinde x değerini nasıl bulabiliriz?

2’nin hangi kuvvetini alırsak 16 eder sorusunun yanıtını aramalıyız. 2’nin 4. kuvveti 16 olacağından x sayısı 4 olmalıdır.

y = 10^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?

y = 10^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu y = log₁₀ x’dir.

Bayağı ve doğal logaritma nedir?

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma, e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.

2⁵ = 32 olduğuna göre  log₂ 32 kaçtır?

2⁵ = 32 olduğuna göre  log₂ 32= 5 dir.

Maddenin başlangıçtaki kütlesi y₀ olsun. t zaman sonra kalan kütle y(t) olmak üzere y(t)’yi nasıl buluruz?

y(t) = y₀ · e^{k t}  formülüyle buluruz. Burada k, üstel azalış katsayısıdır.