İstatistik Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Olasılık nedir?

Sıfır ile bir kapalı aralığında (0 ve 1 dahil) değerler alan ve bir olayın ortaya çıkma şansını belirten sayıya olasılık adı verilir.

Deneme, sonuç, örneklem uzayı ve olay kavramlarını açıklayınız.

Çeşitli olası gözlemlerden yalnızca birinin gerçekleşmesi ile sonuçlanan sürece deneme adı verilir. Bir denemenin iki ya da daha fazla olası sonucu bulunur ve bu sonuçlardan hangisinin gerçekleşeceği belirsizdir. Bir denemenin sona erme biçimine sonuç adı verilir. Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan kümeye örneklem uzayı adı verilir ve bu küme S harfi ile ifade edilir. Bir denemenin bir ya da daha fazla sonucundan oluşan kümeye ise olay adı verilir.

Olasılık tanımlarına ilişkin yaklaşımlar nelerdir?

Olasılık tanımlara ilişkin nesnel ve öznel olasılık olmak üzere iki farklı yaklaşım bulunmaktadır.

Olasılık değeri nasıl yorumlanmaktadır?

Olasılık değeri sıfıra yaklaştıkça, olayın gerçekleşme şansı gittikçe azalıyor, olasılık değeri bire yaklaştıkça da o olayın gerçekleşme şansı gittikçe artıyor şeklinde yorumlanır.

Kaç farklı olasılık tanımı bulunmaktadır ve bu tanımlar nelerdir?

Üç farklı olasılık tanımı bulunmaktadır: • Klasik olasılık, • Deneysel Olasılık, • Özel (Sübjektif) Olasılık.

Öznel olasılık kavramını açıklayınız.

Öznel Olasılık, belirli bir olayın gerçekleşme olasılığının, eldeki mevcut bilgilere dayalı olarak belirlendiği olasılık yaklaşımıdır.

Karşılıklı ayrık olaylar nelerdir?

Bir olay gerçekleştiği anda diğer olayların hiçbiri gerçekleşmiyorsa, bu olaylara karşılıklı ayrık olaylar adı verilir.

Bütüne tamamlayan olaylar nelerdir?

Eğer bir deneme, olası tüm sonuçları içeren bir olaylar kümesinden oluşuyorsa, bu olaylar kümesine bütüne tamamlayan olaylar adı verilir.

Toplama kuralları nelerdir ve hangi amaçla kullanılmaktadır?

Toplama Kuralları, olayların birleşimlerinin olasılığını bulmada kullanılır. Bu kurallar aşağıda verilmiştir: • Özel Toplama Kuralı • Tümleyen Kuralı • Genel Toplama Kuralı

Ortak olasılık kavramını açıklayınız.

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığına ortak olasılık adı verilir. A ve B gibi iki olay için P(A ve B) şeklinde gösterilir.

Koşullu olasılık kavramını tanımlayınız.

B olayının gerçekleştiği bilindiğinde, A olayının gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık adı verilir ve bu olasılık P (A|B ) ile gösterilir. P ( A|B ) ifadesi, “B bilindiğine göre, A’nın koşullu olasılığı” olarak okunur.

Binom dağılımının özellikleri nelerdir?

İlgili özellikler şöyle sıralanabilir: 1. Denemeler, daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır. 2. Yapılacak her denemenin sonunda, var olan karşılıklı ayrık iki sonuçtan yalnızca birisi ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan birisi ilgilenilen sonuç, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen sonuçtur. 3. Rassal değişken, sabit sayıda denemedeki ilgilenilen durumun sayısını belirtir. 4. Tek bir denemede ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığı, tüm denemelerde aynı kalmalıdır. 5. Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır.

Genel toplama kuralını ifade ediniz.

A ve B gibi iki olay için genel toplama kuralına ilişkin eşitlik aşağıda verilmiştir: P PA PB P (A veya B) ( ) ( ) (A ve B) = + - P(A veya B)İfadesindeki “veya” kelimesi A’nın ya da B’nin gerçekleşebileceğini öne sürmektedir. Bu ifade, A ve B olaylarının birlikte gerçekleşmesi olan P(A ve B) olasılığını da içermektedir.

Saymanın temel ilkesini açıklayınız.

Eğer bir işlem m farklı yolla, bir başka işlem de n farklı yolla gerçekleşebiliyorsa, bu iki işlem birlikte m n × farklı yolla gerçekleşir.

Genel çarpma kuralını ifade ediniz.

Cevap: A ve B gibi iki olay için, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, A olayının gerçekleşme olasılığı ile A’nın gerçekleştiği bilindiğine göre B’nin koşullu olasılığının çarpımına eşittir: P (A ve B)=P(A) . (B|A )

Rassal değişkeni tanımlayınız.

Denemeden denemeye farklı değerler alan ve aldığı bu değerleri belli bir olasılıkla alan değişkenlere rassal değişken adı verilir.

Faktöriyel kavramını açıklayınız?

n pozitif tamsayısından küçük ve eşit bütün pozitif tamsayıların çarpımı, n faktöriyel olarak adlandırılır ve bu ifade “n!” ile gösterilir. Bu tanıma göre; n nn n nn ! ( 1)( 2) 2.1 ( 1)! = - - K = - olarak yazılabilir.

Hangi durumda genel toplam kuralı yerine özel toplama kuralı uygulanabilir?

Eğer olaylar karşılıklı ayrık ise, P(A ve B) ortak olasılığı sıfır olur ve bu durumda A veya B’nin gerçekleşme olasılığının hesaplanmasında genel toplama kuralı özel toplama kuralına dönüşecektir.

Çarpma kurallarından ne zaman yararlanılır?

A ve B gibi iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı hesaplanmak istendiğinde, bu iki olayın kesişimine ilişkin olasılık değerlendirilir ve bu olasılığın hesaplanmasında çarpma kurallarından yararlanılır.

Bağımsız ve bağımlı olaylar kavramlarını açıklayınız.

A olayı B olayının gerçekleşme olasılığını etkilemiyorsa, bu A ve B olayları bağımsız olaylardır. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara bağımlı olaylar adı verilir.

Rassal değişkenlerin ortaya çıkış şekilleri nelerdir?

Rassal değişkenler; • Kesikli ve • Sürekli rassal değişkenler olmak üzere iki şekilde ortaya çıkarlar:

Özel faktöriyel değerleri nelerdir?

Özel olarak 0! 1 = ve 1! 1 = ’dir

. Kombinasyon ve permütasyon arasındaki fark nedir?

Seçilecek nesnelerin diziliş sırası önemli değilse kombinasyon, nesnelerin dizildiği sıra önemli ise permütasyon kullanılmaktadır.

Binom dağılımında sıklıkla karşılaşılan olası sonuçlara örnek veriniz?

Binom denemelerindeki olası iki sonuç genellikle; • “Başarılı-başarısız”, • “Var-yok”, • “Ölü-sağ”, • “Pozitif negatif” vb. ikililerdir.

Hangi rassal değişkenler sürekli rassal değişken olarak adlandırılır?

Sayılamayacak ya da sonsuz sayıda olası değeri bulunan ve bir sayı aralığı ya da aralık kümesi üzerinde tanımlanan rassal değişkenlere sürekli rassal değişken adı verilir.

Hangi rassal değişkenler kesikli rassal değişken olarak adlandırılır?

Sonlu ya da sayılabilir sayıda farklı değeri bulunan rassal değişkenlere kesikli rassal değişken adı verilir.

Kesikli olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları nasıl oluşmaktadır?

Kesikli bir rassal değişkenin olası değerler kümesi düzenlendiğinde, bu dağılım kesikli olasılık dağılımı olacaktır. Eğer rassal değişken sürekli ise, olasılık dağılımı sürekli olasılık dağılımı adını alır.

Olasılık dağılımlarının temel özellikleri nelerdir?

İlgili temel özellikler şöyle sıralanabilir: • Belli bir sonucun olasılığı 0 ile 1 kapalı aralığında değerler alır. • Tüm karşılıklı ayrık olayların olasılıkları toplamı 1’e eşittir.

Olasılık dağılımını tanımlayınız?

Bir denemedeki olası tüm sonuçların ve bu sonuçların her birine ilişkin olasılıkların yer aldığı listeye olasılık dağılımı adı verilir.

Sürekli ve kesikli rassal değişkenlerin olasılıklarının hesaplanmasındaki fark nedir?

Sürekli rassal değişkenler, belli bir aralıkta sonsuz sayıda değer alırlar. Dolayısıyla, sürekli rassal değişkenlerde kesikli değişkenler için belli bir değeri alma olasılığı yerine, belli bir aralıkta yer alma olasılığı hesaplanır.

Z değerlerinin özellikleri nelerdir?

z değerleri standart değerler olduğu için birimleri yoktur. z değerleri, X gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu belirtir.

Normal dağılımda mod, medyan ve aritmetik ortalama değerlerinin konumları nasıldır?

Normal dağılımın aritmetik ortalama, mod ve medyan değerleri eşittir ve bu değerler dağılımın merkezinde yer alırlar.

Normal dağılımın konumu nasıl belirlenmektedir?

Normal dağılımın konumu, µ aritmetik ortalamasına, yayılması ise ? standart sapmasına göre belirlenir.

Standart normal dağılım hangi amaçla kullanılmaktadır?

Aritmetik ortalama ve standart sapma değerlerine ilişkin olarak sonsuz sayıda farklı normal dağılım eğrisi çizilebileceğinden, tüm eğriler için olasılık hesabında kullanılacak tabloların oluşturulması mümkün değildir. Bu nedenle, olasılıkların belirlenmesinde standart normal dağılımdan yararlanılır. Normal dağılımın özel bir durumu olan standart normal dağılım, elde edilebilecek tüm normal dağılımlar için olasılık belirlemede kullanılabilmektedir.

Normal dağılım ile standart normal dağılım arasındaki ilişki nedir?

Herhangi bir normal dağılım, gözlem değerlerinden aritmetik ortalama değeri çıkartıldıktan sonra, bu farkın standart sapmaya bölünmesi yoluyla standart normal dağılıma dönüştürülebilir. Aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal dağılıma standart normal dağılım adı verilir.

Sürekli olasılık dağılımlarına örnek veriniz.

Sürekli olasılık dağılımları, bir nesnenin uzunluğu, ağırlığı, sıcaklığı gibi aldığı değerleri genellikle bir ölçüm sonucunda alan sürekli rassal değişkenlere ilişkin dağılımlardır.

Beklenen değer nedir?

Bir olasılık dağılımının ortalamasına, o olasılık dağılımının beklenen değeri adı verilir.

Olasılık nedir? tanımlayınız.

Olasılık, bir olayın ortaya çıkma şansını ifade eden, sıfır ile bir kapalı aralığında (0 ve 1 dahil) bir değerdir.

olasılık kavramlarından deneme kavramını açıklayınız.

Çeşitli olası gözlemlerden yalnızca birinin gerçekleşmesi ile sonuçlanan sürece deneme adı verilir. Bir denemenin iki ya da daha fazla olası sonucu bulunur ve bu sonuçlardan hangisinin gerçeklefleceği belirsizdir.

olasılık kavramlarından sonuç kavramını açıklayınız.

Bir denemenin sona erme biçimine sonuç adı verilir. Örneğin, tek bir bozuk paranın atılması bir denemedir. Paranın havaya atılışı gözlemlenebilir ancak “yazı” ya da “tura”dan hangisinin geleceği önceden bilinemez. Bu denemedeki olası sonuçlardan biri paranın yazı gelmesi, diğeri ise paranın tura gelmesidir. Dolayısıyla bu deneme için olası sonuç sayısı ikidir. Benzer olarak, bir zar atma denemesinde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere altı olası sonuç bulunur.

olasılık kavramlarından örneklem uzayı kavramını açıklayınız.

Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan kümeye örneklem uzayı adı verilir ve bu küme S harfi ile ifade edilir. Denemenin olası tüm sonuçlarına örneklem uzayının bir elemanı karşılık gelir. Bu elemana da örneklem uzayı noktası adı verilir.

Olasılık kavramlarından olay kavramını açıklayınız.

Bir denemenin bir ya da daha fazla sonucundan oluşan kümeye ise bir olay adı verilir. Dolayısıyla, örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi, bir olay olacaktır.

Klasik Olasılık nedir? Açıklayınız.

Klasik olasılık tanımı, bir denemenin sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu varsayımına dayanır. Klasik bakış açısıyla, bir olayın gerçekleşme olasılığı ilgilenilen sonuçların sayısının, olası tüm sonuçların sayısına bölünmesi yoluyla hesaplanır.

Deneysel Olasılık nedir? Açıklayınız.

Olasılık tanımlarından bir diğeri, göreli frekanslara dayalı olarak yapılır. Bu yaklaşımda bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak için, geçmişte benzer olayların gerçekleşme sayısının oranına bakılır.

Öznel (Subjektif) Olasılık nedir? Açıklayınız.

Öznel olasılık, olasılığın belirlenmesi için herhangi bir geçmiş deneyim ya da bilginin bulunmadığı durumlarda başvurulan yaklaşımdır. Bu yaklaşımda, mevcut görüşler ve eldeki diğer bilgiler değerlendirilerek olaya ilişkin olasılık tahmin edilir ya da belirlenir. Belirlenen bu olasılığa, öznel olasılık adı verilir. Öznel olasılık için, istatistik dersini alan bir öğrencinin final sınavından 80’in üzerinde puan alma olasılığının tahmin edilmesi, 2011 yılı gelirleri için Türkiye’de en fazla kurumlar vergisi ödeyecek kuruluşun tahmin edilmesi vb. gibi örnekler verilebilir.

Özel Toplama Kuralı nedir?

Özel toplama kuralı, yalnızca karşılıklı ayrık olaylar için uygulanabilir. Eğer A ve B olayları karşılıklı ayrık olaylar ise özel toplama kuralına göre bu olaylardan birinin veya diğerinin gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının toplamına eşittir.

Tümleyen kuralı nedir? Açıklayınız.

Bir olayın gerçekleşme olasılığının, bu olayının gerçekleşmeme olasılığının 1’den çıkarılması yoluyla belirlendiği kuraldır. 

Ortak Olasılık nedir?

Ortak Olasılık, iki ya da daha fazla olayın aynı anda gerçekleşme şansını ölçen olasılıktır.

Özel Çarpma kuralı nedir? Açıklayınız.

Özel çarpma kuralının uygulanabilmesi için olayların birbirinden bağımsız olması gerekir. Eğer bir olayın gerçekleşmesi, bir diğer olayın gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olay birbirinden bağımsızdır.
A ve B olayları farklı zamanlarda gerçekleştiğinde, söz gelimi A olayının gerçekleşmesinden sonra B olayı gerçekleştiğinde, A olayı B olayının gerçekleşme olasılığını etkilemiyorsa bu A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, bir zarın iki kez atılması denemesinde ikinci zardan elde edilen sonuç, birinci zarın kaç geldiğinden bağımsızdır.
Özel çarpma kuralına göre; A ve B bağımsız olayları için A ve B’nin birlikte gerçekleşme olasılığı, bu iki olayın ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir.

Genel Çarpma Kuralı nedir? Açıklayınız.

Herhangi iki olay bağımsız olmadığında, bu iki olayın ortak olasılığını hesaplamada kullanılan kuraldır. Söz gelimi, A olayı gerçekleştikten sonra B olayı gerçekleşiyorsa ve B olayının gerçekleşmesinde A olayının etkisi varsa A ve B olayları bağımsız değildir. Genel çarpma kuralına göre A ve B gibi iki olay için, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, A olayının gerçekleşme olasılığı ile A’nın gerçekleştiği bilindiğine göre B’nin koşullu olasılığının çarpımına eşittir.

Permütasyon kuralı nedir? Açıklayınız.

Saymanın temel ilkesi iki ya da daha fazla grup için olası düzen sayısını bulmada kullanılırken permütasyon kuralı, yalnızca bir nesne grubu için olası sıralama sayısını bulmada kullanılır. Örneğin, bir kişi mobilya üretimi yapan bir firmadan dört adet mobilya satın almış olsun. Mobilyaların eve teslimatı sırasında bu mobilyalar kamyondan herhangi bir sırayla indirilebilir. Söz gelimi, ilk olarak yemek masası, ikinci olarak televizyon sehpası, üçüncü olarak komidin ve son olarak gardrop biçiminde indirme işlemi yapılabilir. Burada yapılan bu sıralamaya bir permütasyon adı verilir. Dolayısıyla, n olası nesnenin tek bir grubundan seçilen r adet nesnenin herhangi bir sıralamasına permütasyon adı verilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, (yemek masası, televizyon sehpası, komidin, gardrop) sıralaması ile (gardrop, yemek masası, komidin, televizyon sehpası) sıralamaları, farklı permütasyonları ifade etmektedir.

Kesikli Rassal Değişken nedir? Açıklayınız.

Sonlu ya da sayılabilir sayıda farklı değeri bulunan rassal değişkenlere kesikli rassal değişken adı verilir. Eğer bir şirkette çalışanların sayısı 500 ise belli bir günde mazeretleri nedeniyle işe gelmeyenlerin sayısı yalnızca 0’dan 500’e kadar tamsayılar olabilir. Kesikli rassal değişkenler aldıkları değerleri genellikle incelenen olaya konu olan birimlerin sayılması sonucunda alırlar. Kesikli rassal değişkenlerin, kesirli ya da ondalık değerler aldığı durumlar da bulunabilir. Ancak bu değerler birbirinden ayrılmış olmalı ya da aralarında belli uzaklıklar olmalıdır. Örneğin, 1’den 10’a kadar ondalıklı değerlerle değerlendirilen bir sınav sonucunda öğrenciler, 3,5; 8,9 ya da 6,7 vb. gibi notlar alabilir. 5,5 ve 5.6’da olduğu gibi, alınan notlar arasında 0,1 puanlık uzaklıklar olacağı için öğrencilerin aldığı notlar kesikli rassal değişkendir.

Sürekli Rassal Değişkenler nedir? Açıklayınız.

Sayılamayacak ya da sonsuz sayıda olası değeri bulunan ve bir sayı aralığı ya da aralık kümesi üzerinde tanımlanan rassal değişkenlere sürekli rassal değişken adı verilir. Fabrikada üretilen bir vidanın uzunluğu, bir tansiyon hastasının büyük ve küçük tansiyon değerleri, bir odanın sıcaklığı ölçüldüğünde, ölçülen bu değişkenler belli bir aralıkta sonsuz sayıda değerler alabilecekleri için sürekli rassal değişkenlerdir.

Binom dağılımının özellikleri nelerdir?

Binom dağılımının özellikleri özetlenecek olursa;

a) Denemeler, daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır.

b) Yapılacak her denemenin sonunda, var olan karşılıklı ayrık iki sonuçtan yalnızca biri ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan biri ilgilenilen sonuç, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen sonuçtur.

c) Rassal değişken, sabit sayıda denemedeki ilgilenilen durumun sayısını belirtir.

d) Tek bir denemede ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığı, tüm denemelerde aynı kalmalıdır.

e) Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır.

olasılık değerlerinin temel özellikleri nelerdir?

Olasılık dağılımlarının iki temel özelliği bulunur. Bunlar:

1. Belli bir sonucun olasılığı 0 ile 1 kapalı aralığında değerler alır.
2. Tüm karşılıklı ayrık olayların olasılıkları toplamı 1’e eşittir.

Sürekli olasılık dağılımları nedir? açıklayınız.

Sürekli olasılık dağılımları, bir nesnenin uzunluğu, ağırlığı, sıcaklığı gibi aldığı değerleri genellikle bir ölçüm sonucunda alan sürekli rassal değişkenlere ilişkin dağılımlardır. Tanımı gereğince, sürekli rassal değişkenler için deneme sonuçları bir değer aralığı üzerindeki noktalarla belirtilir ve değişkenin aldığı sayısal değerler, olasılık dağılımları yardımıyla uygun noktalarla ilişkilendirilir. Sürekli rassal değişkenler, bir aralık üzerinde bulunan sonsuz sayıda noktayla ilişkilendirilebilir. Bu nedenle, sürekli rassal değişkenin olası her değeri için olasılık hesaplanması söz konusu değildir. Yapılabilecek şey, belli bir aralık için olasılığın hesaplanmasıdır. Bu nedenle, sürekli bir olasılık dağılımı için belli bir değer aralığında ortaya çıkan gözlem sonuçlarının oranı belirlenmeye çalışılır.

Normal dağılımın aritmetik ortalaması ve standart sapması kaçtır?

Aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal dağılıma standart normal dağılım adı verilir.