İstatistik 1 Dersi 6. Ünite Sorularla Öğrenelim

Sürekli rassal değişken kavramını tanımlayınız.

Belli bir aralıkta veya aralıklarda her değeri alabilen rassal değişkene, sürekli rassal değişken denir. Bir başka ifadeyle, sürekli rassal değişken, alabileceği değerleri sayılamayacak(sonsuz) kadar çok olan rassal değişkendir. Ayrıca, sürekli rassal değişkenin değerleri genellikle, sayım yoluyla elde edilen kesikli rassal değişkenlerin aksine ölçüm yoluyla elde edilmektedir.

Bir fabrika uzunlukları 1 ile 13 metre arasında düzgün dağılım gösteren kablolar üretmektedir. Bu kabloların uzunluğunun varyansı kaç metredir?

varyans=(b-a)*(b-a)/12=(13-1)*(13-1)/12=12m olur

Ortalama 1 kg, standart sapması 30 gram olan konserveler üreten bir fabrika, çok hafif olduğu gerekçesiyle konservelerin % 1'ini yeniden üretim bandına sokmayı planlamaktadır (en hafif %1'lik dilime girenleri). Bu durumda kaç gramdan düşük ağırlığa sahip konserveler seçilmelidir?

P(z<k)=0.01

İhtiyaç duyduğumuz ağırlıktaki konserveler dağılımın negatif (sol) tarafına düştüğü ve tabloda negatif değerlere ilişkin dağılım verilmediği için simetriği olan pozitif z değerini bularak çözüme ulaşabiliriz.

En hafif %1 ile en ağır %1 için eşik değerler ortalamaya göre simetriktir.

Bu durumda P(z<p)=0.49 değerini sağlayan p eşiği ile k ortalamaya göre simetriktir.

P(z<p)=0.49 eşitliğini sağlayan eşik 2.3'tür. Standart normal dağılımın 2.3'e göre simetrik sol eşiği -2.3 olacağından:

(x-1000)/30=-2.3

x-1000=-69

x=1000-69=931 gr olacaktır. Yani 931 gramdan hafif olan ürünler yeniden üretim bandına gönderilecektir.

Bir önceki soruda verilen X değişkeni için P(5<X<7)=?

f(x)=0.2 olduğuna göre P(5<X<7) olasılığı bir kenarı 0.2, diğer kenarı 7-5=2 olan bir dikdörtgenin alanına eşittir. Yani P(5<X<7)=2*0.2=0.4

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımını kulllanarak 1000 kere atılan bir paranın en az 520 kez tura gelme ihtimalini hesaplayınız.

Ortalama=np=0.5*1000=500 kez tura gelebilir

Varyans=npq=1000*0.5*0.5=250

Standart sapma=Kök(250)=15.8

z=(520-500)/15.8=1.27 (yaklaşık)

P(x>520)=0.5-P(z<1.27)=0.5-0.398=0.102=%10.2

Sürekli rassal değişkenin olasılık hesaplamalarında kullanılan dağılımlar nelerdir?

Düzgün dağılım ve normal dağılım sürekli rassal değişkenler için uygulanan dağılımlardır.

Günlük yaşantımızda normal dağılıma uyan örnekler nelerdir?

Günlük yaşantımızda normal dağılıma uyan bazı örnekler şöyle sıralanabilir: • Bir yatırım aracının aylık gelirleri, • Bir işletmede üretilen ürünlerin ağırlıkları, • Yeni doğan bebeklerin ağırlıkları, • Bir deneyde yapılan rassal ölçüm hataları, • Zeka testi sonuçları, • Bir okulda matematik dersinde alınan notlar

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun “f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan 1’e eşittir” özelliğini açıklayınız.

Normal dağılımın f(x) eğrisi altında kalan alan ve x-ekseni ile sınırlandırılmış toplam alanın veya olasılığının 1 olmasıdır.

Normal dağılımın sürekli rassal değişkenler için en önemli dağılımlardan biri olmasının nedeni nedir?

Günlük yaşamımızda gerek gözlenen sürekli rassal değişkenlerin büyük çoğunluğunun (yaklaşık olarak) normal dağılıma uyması, gerekse istatistiksel çıkarsamalarda temel dağılım olarak kullanılması açısından önemli bir dağılımdır.

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu hangi özellikleri sağlar?

• Her x için f(x) ? 0 • f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan 1’e eşittir. • f(x) eğrisi x = µ’ye göre simetriktir. • f(x) eğrisinin iki ucu (kuyruğu) sonsuza gitmektedir.

Sürekli rassal değişken olabilecek örnekler nelerdir?

Sürekli rassal değişken olabilecek ile ilgili olarak; 1. Ülkelerin yüzölçümleri, 2. Aylık gıda harcamaları, 3. Boy uzunlukları, 4. Bir hisse senedinin fiyatı, 5. Aylık elektrik tüketimi, 6. Bir elektronik eşyanın dayanma süresi gibi örnekler verilebilir.

a<X<b aralığında dağılan düzgün (uniform) bir dağılım için ortalama ve varyans nedir?

Ortalama=(a+b)/2

Varyans=(b-a)/?12

Düzgün dağılım nedir? Örnekle açıklayınız.

Sürekli rassal değişkenler için en basit dağılımlardan biri olan düzgün(uniform) dağılım, sürekli bir rassal değişkenin tanımlı olduğu aralıkta belirlenen eşit uzunluktaki aralıkların olasılıklarının eşit olduğu bir dağılımdır. Örneğin; Bir uçağın yerden başka bir yere uçuş suresi, belli uzunluktaki bir borunun arızalandığı noktadaki mesafesi düzgün dağılıma örnektir.

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun “f(x) eğrisi x=µ’ye göre simetriktir” özelliğini açıklayınız.

Normal dağılım eğrisinin şeklinin x=µ’nün solunda ve sağında aynı olmasıdır. Ayrıca, ortalama (µ), eğri altındaki toplam alanı iki eşit parçaya ayırır.

. Sürekli X rassal değişkeni, 1 ile 5 arasında düzgün dağılıma sahip olsun. X rassal değişkeninin 2 ile 4 arasında değer alması olasılığı kaçtır?

Cevap: P(c< x

Sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılıkların (alanların) hesaplanabilmesi ve çeşitli yorumların yapılabilmesi için ne kullanılır?

Olasılık yoğunluk fonksiyonu veya olasılık dağılım eğrisi kullanılmaktadır.

Sürekli rassal değişken ile kesikli rassal değişkenin değerleri arasındaki fark nedir?

Sürekli rassal değişkenin değerleri ölçüm yolu ile kesikli rassal değişkenin değerleri sayım yolu ile elde edilir.

Sürekli rassal değişkenler için tanımlanan olasılık yoğunluk fonksiyonlarının özellikleri nelerdir?

Sürekli bir rassal değişkenin f (x) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir.

Her x için f (x) ? 0’dır.

f (x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan veya olasılık 1’eşittir

Sürekli rassal değişkenin f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun hangi özellikleri sağlaması gerekir?

• Her x için f(x) ? 0’dır. • f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan veya olasılık 1’e eşittir.

Ülke çapında yapılan bir sınavın ortalama skoru 400 puan olup standart sapması 20 puandır. Skorların normal dağıldığı varsayımıyla en başarılı % 5'lik dilime girmesi için bir öğrencinin skorunun en az kaç olması gerekir?

Öğrenci %5'lik dilimdeyse, sınava giren öğrencilerin % 95'ini geçmiş olması gerekir. Yani: P(z<k)=0.95

Ortalamanın altında alan öğrenciler % 50lik dilimi oluşturduğuna göre P(0<k)=0.95-0.50=0.45 Tablo yardımıyla k=1.55'tir (yaklaşık)

z=(x-400)/20

1.55=(x-400)/20

20*1.55=x-400

431=x olacaktır.

Yani öğrenci en az 431 puan almış olmalı ki en başarılı %5'lik dilimde olsun.

Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri nelerdir?

Normal dağılımın f (x) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar.

1. Her xiçin f (x) ? 0.
2. f (x) eğrisi altında kalan ve x-ekseniyle sınırlandırılmış alan 1’e eşittir.
3. f (x) eğrisi x=µ’ye göre simetriktir.
4. f (x) eğrisinin iki ucu (kuyruğu) sonsuza gitmektedir.

Sürekli X rassal değişkeni a? x ?b aralığında düzgün dağılıma sahip olduğunda, bu rassal değişkenin c ve d değerleri arasında olma olasılığı P(c<>

P(c< x

Süreklilik düzeltmesi nedir?

Kesikli rassal değişkenin sürekli rassal değişkene dönüştürülmesi için “süreklilik düzeltmesi” yapılmalıdır. Buna göre, binom dağılımı için P(X=x) olasılığında x’e ±0,5 değeri eklenerek, normal dağılım için; P(x-0,5 ? X ? x+0,5) olasılık değeri hesaplanır. Sonuç olarak, kesikli rassal değişkenlere uygulanan binom dağılımının, sürekli rassal değişkenlere uygulanan normal dağılıma yaklaşımı sağlanır. Örneğin, binom dağılımda P(X ? 30) olasılık değeri normal dağılım yaklaşımında aranırken P(X ? 30,5) şeklinde, P(X ? 25) aranırken P(X ? 24,5) şeklinde süreklilik düzeltmesi yapılır.

Standart normal dağılım nedir?

Ortalaması sıfır, varyansı bir olan dağılıma standart normal dağılım denir.

Standart normal dağılım için P(-2<>

Simetri özelliğini kullanarak:

P(-2

Standart normal dağılım için P(-0.6<Z<0.6)=?

Normal dağılım tablosundan P(0<Z<0.6)=0.2257 olduğu görülecektir. Normal dağılım ortalamaya (sıfıra) göre simetrik olduğundan P(-0.6<Z<0)=0.2257 olacaktır. O zaman P(-0.6<Z<0.6)=P(0<Z<0.6)+P(-0.6<Z<0)=2*0.2257=0.4517 olacaktır

Binom dağılımın normal dağılıma yakınsaması (yaklaşması) için gerekli koşullar nelerdir?

Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımının kullanılabilmesi için, n deney sayısı, p başarı şansı ve q başarısızlık olasılığını belitmek üzere; n p? 5 ve n q? 5 koşullarının sağlanması gerekir.

Bir lisedeki öğrencilerin boyları 170 cm ortalama ve 5cm standart sapmayla normal dağılmaktadır. Seçilen bir öğrencinin (175cm, 180cm) aralığında bir boyda olması olasılığı nedir?

x=165 için z=(175-170)/5=1

x=180 için z=(180-170)/5=2

Öyleyse bizden istenen olasılık P(1<z<2)=?

P(1<z<2)=P(0<z<2)-P(0<z<1)=0.4772-0.3413=0.1359=%13.59

Normal dağılım f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun “Her x için f(x) ? 0’dır” özelliğini açıklayınız.

Normal dağılımın tanımlı olduğu -?< x

Sürekli rassal değişkenin olasılıkları kesikli rassal değişkenlerde olduğu gibi tek tek mi hesaplanır?

Sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılık hesabı, kesikli rassal değişkenlerden farklılık göstermektedir. Mesela seçilen bir öğrencilerin boy uzunluğunun 160 ile 170 cm arasında olma olasılığı araştırılmak istendiğinde, X rassal değişkeninin 160 ile 170 cm arasında alabileceği değerler sayılamayacak çokluktadır. Bundan dolayı, sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılıklar, kesikli rassal değişkenlerde olduğu gibi tek tek hesaplanamaz. Bu durumda sürekli rassal değişkenlerle ilgili olasılıkları belirlemek için alan kavramı kullanılır.

Sürekli rassal değişken nedir?

Belirli bir aralıkta veya aralıklarda her değeri alabilen rassal değişkene sürekli rassal değişken denir. Bir başka ifade ile sürekli rassal değişken, alabileceği değerleri sayılamayacak (sonsuz) kadar çok olan rassal değişkendir.

Bir konserve fabrikasının ürettiği konserveler ortalama 1 kg ağırlığa sahip olup standart sapması 20 gramdır. Seçilen bir konservenin 960 gramdan az olması ihtimali nedir?

x=960 için z=(960-1000)/20=-2

Bu durumda P(x<960)=P(z<-2) olacaktır

Simetri özelliğini kullanacak olursak:

P(z<-2)=P(z>2)=0.5-P(0<z<2)=0.5-0.4772=0.02228