İstatistik 1 Dersi 5. Ünite Sorularla Öğrenelim

Çalışan bir kişinin gar dolabında 3 farklı renkte pantolon, 4 farklı renkte gömlek ve 2 farklı renkte kravat vardır. Bu kişinin evden çıkarken giyebileceği kaç farklı durum vardır?

3.4.2 = 24 farklı şekilde giyinebilir.

Bir kez atılan bir zar deneyinde A örnek uzayında hangi noktalar oluşur?

A = {1,2,3,4,5,6}

Verideki homojenlik veya heterojenlik neyi gösterir?

Varyans değeri büyük ise verideki değerlerin birbirinden oldukça farklı (heterojen); varyans küçük ise verideki değerlerin birbirine benzer (homojen) olduğu söylenir.

Sürekli rassal değişkenler için kullanılabilecek örnekler nelerdir?

Örnekler şöyle sıralanabilir: • Öğrencilerin boy uzunlukları, • Yarışmacıların 100 metreyi koşma süreleri, • Domateslerin ağırlığı, • Rüzgarın hızı, • Havanın sıcaklığı (diğerlerinden farklı olarak negatif değerler de alır) gibi ölçme yardımıyla bulunan/hesaplanan değerler alır.

Bernoulli dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

İki sonucu olan bir deneyi modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.

Olasılık dağılımı ne demektir?

Olasılık dağılımı, P(X=x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.

Bir zar ve bir para aynı anda atılıyor. Örnek uzayında kaç farklı nokta oluşur.

Zar için 6 farklı nokta, para için (Y,T) olmak üzere 2 farklı nokta oluşur. Bu noktalar şu şekildedir: {(1,Y),(2,Y),(3,Y),(4,Y),(5,Y), (6,Y),(1,T),(2,T),(3,T), (4,T),(5,T), (6,T)}

Binom dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Binom dağılımı, n tane “bağımsız ve aynı dağılımlı” Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Burada aynı dağılımlı kelimesi, her bir Bernoulli denemesi için başarı (ya da başarısızlık) olasılığının aynı kaldığı anlamındadır.

Kesikli rassal değişkenin (x) alabileceği değerler nelerdir?

Alacağı değerler şöyle sıralanabilir: • x=0,1 • x= 0,1,2,… • x= k,k+1,k+2,k+3, … gibi tam sayı değerler alırlar.

Verideki homojenliğin (ya da heterojenliğin) ifadesi olarak adlandırılan değere ne denir?

Verideki homojenliğin (ya da heterojenli¤in) bir ifadesi olan değişken varyans olarak adlandırılır. V(X) sembolü ile gösterilir.

Poisson dağılımı kullanılarak modelleme yapılabilecek olaylara ne gibi örnekler verebiliriz?

• Dünyaya, bir haftada (birim zaman) düşen göktaşı sayısı, • Bir kavşakta, altı ayda (birim zaman) meydana gelen trafik kazası sayısı, • Bir maden ocağında, bir yılda (birim zaman) meydana gelen ve yaralanmayla sonuçlanan kaza sayısı, • Bir metre (birim uzunluk) uzunluğunda, bir çelik halattaki üretimden kaynaklanan hata sayısı, • İki dönüm (birim alan) büyüklüğünde bir domates serasındaki hastalıklı fide sayısı, • 1/2 metreküp (birim hacim) büyüklüğünde bir akvaryumdaki hasta Japon balığı sayısı. Örneklerden de anlaşılabileceği üzere, Poisson dağılımı nadir (seyrek) gerçekleşen olayların modellenmesinde kullanılan bir dağılımıdır

Verinin konumunun ve değişkenliğinin ölçüsü olarak kullanılan değerler nelerdir?

Ortalama ve varyans, sırasıyla verinin konumunun (location) ve değilkenliğinin (variation) birer ölçüsü olarak kullanılırlar. Ortalama yerine beklenen değer ifadesi de kullanılır.

Rassal değişken nedir?

Rassal bir olayın (yada deneyin) sonuçlarını, sayısal değerlerle ifade eden değişkene rassal değişken (random variable) denir.

Poisson dağılımı hangi durumlarda kullanılır?

Poisson dağılımı, olasılık ve istatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan kesikli bir dağılımdır. Bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılır. İlgilenilen aralık uzunluğu, bir “birim” olarak ifade edilirse zamanla ilgili aralıklar “birim zaman”, uzayla ilgili aralıklar ise “birim uzay” olarak ifade edilir. • Birim zamana örnek olarak; • Bir hafta, • Altı ay, • Bir yıl örnek verilebilir. • Birim uzaya örnek olarak ise; • Bir metre (uzunluk), • Bir dönüm (alan), • 1/2 metre küp (hacim) vb. örnek verilebilir.

Aynı anda iki zar atılıyor. Bu deney de A olayı, üste gelen sayıların toplamının 7 olması olarak tanımlansın. A olayının kümesinin elemanları nelerdir?

A = {(1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

Kesikli rassal değişkenler için kullanılabilecek örnekler nelerdir?

• Bir kutudaki kusurlu kalem sayısı, • Atış poligonunda hedefe yapılan isabetli atış sayısı, • Bir kavşakta meydana gelen trafik kazalarının sayısı, • Para atma deneyinde tura gelinceye kadar yapılan atış sayısı, • Bir büfeye gün içinde gelen müşteri sayısı gibi tam sayı değer alan örnekler olabilir.

Olasılık ve İstatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan olasılık dağılımlarına örnek veriniz.

Literatürde rassal değişkenleri modellemek için kullanılan bir çok olasılık dağılımı vardır. Olasılık dağılımları, kesikli dağılım olarak adlandırılır. Yaygın olarak kullanılan kesikli dağılımlar şöyle sıralanabilir: • Bernoulli Dağılımı, • Binom Dağılımı, • Poisson Dağılımı

Aşağıda tanımlanan rassal değişkenlerin hangilerinin kesikli, hangilerinin sürekli olduğunu belirleyiniz.

1. Bir kütüphaneye gelen öğrenci sayısı: Tek tek sayılabilir. Kesikli değişkendir. 2. Bir markette para ödemek için bekleyen müşterilerin hizmet alma süresi: Hizmet alma süresini ölçerek bulmak zorunda olduğu için sürekli değişkendir. 3. Bir apartmandaki ailelerin aylık doğal gaz tüketimi: Aylık tüketimin ölçerek bulunması gerekir. Sürekli değişkendir. 4. Antalya Gazipaşa’ya havayoluyla gelen yabancı turist sayısı: Tek tek sayılabilir olduğu için kesikli değişkendir. 5. Negatif değerler alabilen sürekli rassal değişkene örnek veriniz: Hava sıcaklığı değerleri, hem negatif değerler alır, hem de ölçme yardımıyla bulunabilen değerlerdir.

Rassal değişkenin çeşitleri nelerdir?

Rassal değişkenler, aldıkları değerlere göre kesikli (discrete) ya da sürekli (continuous) olarak adlandırılırlar. Değer kümesi; • Sayılabilir (countable) olan rassal değişkenler kesikli, • Sayılamayan (uncountable) olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir.

Rassal değişken nedir?

Rassal değişken, tanım kümesi örnek uzay (sample space-S), değer kümesi ise reel sayılar (R)olan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir.

3 kez atılan bir para için örnek uzay kümesini (S) tanımlayınız.

Para ya yazı ya tura geleceğine göre S=(YYY, TTT, YTT, TYY, YTY, TYT, YYT, TTY) olmak üzere 8 elemanlı bir kümeden oluşur.

Kesikli ve sürekli değişken kavramlarını açıklayınız, birer örnek veriniz.

Değerkümesi sayılabilir(countable)olan rassaldeğişkenler kesikli, sayılamayan(uncountable)olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir. Örneğin insanların boyu sürekli bir değişken iken, insanların yaşı kesikli bir değişkendir.

Olasılık dağılımı kavramını açıklayınız.

Olasılık dağılımı (probability distribution), P(X= x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.

Tanım kümesi (1,2,3) olan X kesikli değişkeni için P(X=x)=x/6 bir olasılık dağılımı mıdır?

x=1 için P(X=x)= 1/6<1

x=2 için P(X=x)= 2/6<1

x=3 için P(X=x)= 3/6<1

Toplam P(X=x)=1/6+2/6+3/6=1

olduğuna göre P(X=x) fonksiyonu gerekli iki koşulu da sağladığından bir dağılım fonksiyonudur.

Aşağıda olasılık dağılımı verilmiş X değişkeni için P(1<X<4)=?

1<X<4 ise X=2 ve X=3 değerlerini esas alacağız. Bu durumda:

P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5 olacaktır.

Bernoulli dağılımını tanımlayınız.

İki sonucu olan bir deneyi (Bernoulli denemesi) modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Genellikle, bu sonuçlar “başarı(success)” ve “başarısızlık(failure)” olarak isimlendirilir. Xrassal değişkeni “başarı”durumunda 1, “başarısızlık”durumunda ise 0 değerini alır. Bernoulli denemesinin başarı ile sonuçlanma olasılığı “p”, başarısızlıkla sonuçlanma olasılığı “1-p” dir.

Arka arkaya 4 kez atılan bir paranın en az 3 kez yazı gelme olasılığı nedir?

En az 3 kez yazı gelmesi demek 3 kez veya 4 kez yazı gelmesi demektir. İlk önce 3 kez yazı gelme olasılıklarını yazalım:

TYYY, YTYY, YYTY, YYYT

Şimdi de 4 kez yazı gelme olasılığını yazalım:

YYYY

O zaman istediğimiz durumları küme olarak yazarsak:

(TYYY, YTYY, YYTY, YYYT, YYYY) olacaktır. Dikkat ederseniz bu kümenin her bir elemanının gelme olasılığı eşit ve (1/2)⁴ = 1/16 dır. Küme 5 elemanlı olduğuna göre olasılık 5*1/16=5/16 dır.

Alternatif olarak P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)*(1/2)³*(1/2)¹+C(4,4)(1/2)⁴*(1/2)⁰ _{= ^{4*1/16+1*1/16=5/16 çözümü de yapılabilir.}}

Binom dağılımını tanımlayınız.

Binom dağılımı, n tane bağımsız ve aynı dağılımlı (independently and identically distributed) Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.

Uzaya gönderilen bir uydunun parçalanmadan atmosferi geçme olasılığı 0,8 ise uzaya gönderilen 5 uydunun en az 3'ünün parçalanmadan atmosferi geçme olasılığı nedir?

Aradığımız olasılık P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)*0.8³*0.2²+C(5,4)*0.8⁴*0.2¹+C(5,5)*0.8⁵*0.2⁰ =10*0.8³*0.2²+5*0.8⁴*0.2¹+0.8⁵ = (184*8³)/10⁵=0.9421

Poisson dağılımı hangi durumlar için uygundur?

Poisson dağılımı, bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır

Anadolu üniversitesi kavşağında ayda ortalama 4 kaza olmaktadır. Öyleyse önümüzdeki ay bu kavşakta en az 2 kaza olma olasılığı nedir?

Bizden istenen olasılık P(x>1)'dir.

Yani P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=?

Bir olay dizaynında bütün olasılıkların toplamı 1'e eşittir. Bu durumda:

P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=1

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=1-P(x=0)+P(x=1) olacaktır. Yani ayda en az 2 kaza olma olasılığı ile ayda en fazla 1 kaza olma olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Bu olasılıklardan ikincisini hesaplamak daha pratik ve kolay olduğundan en fazla 1 kaza olma olasılığını hesaplayalım:

P(x=0)+P(x=1)=((e^-44⁰)/0!)+((e^-44¹)/1!)=e^-4+4e^-4=5e^-4=0.018

Yani ayda en fazla 1 kaza olma olasılığı 0.018'dir. Bu durumda ayda en az 2 kaza olma olasılığı:

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=1-P(x=0)+P(x=1)=1-0.018=0.98 olacaktır.

Binom dağılımı hangi durumlarda Poisson dağılımına yakınsar?

n‘in yeterince büyük olduğu durumlarda, Poisson dağılımından elde edilen olasılıklar, Binom dağılımından elde edilen olasılıklara yaklaşık olarak eşit, n değeri sonsuza yaklaşırken ise tam olarak eşittir. Uygulama problemlerinde, Binom dağılımının, Poisson dağılımına yakınsama özelliğini kullanabilmek için ?=np? 7 koşulunun sağlanması gerektiği genel kabul görmüştür.

Aşağıda dağılımı verilmiş X değişkeninin beklenen değeri (ortalaması) nedir?

E(x)=Toplam(x*P(x))=0*0.1+1*0.2+2*0.2+3*0.3+4*0.2=08+0.9+0.2+0.4=2.3

Aşağıda dağılımı verilmiş X değişkeninin varyansı nedir?

Varyans=E(x²)-E(x)²=0.1*0²+0.2*1²+0.2*2²+0.3*3²+0.2*4²-2.3²=1.61

Bir kavşakta ayda ortalama 10 kaza oluyorsa, bu kavşaktaki kazaların varyansı nedir?

Poisson dağılımları için

Ortalama: µ= E(X)=?

Varyans:?²= V(X)= ? olduğundan bu kavşaktaki kazaların varyansı ve ortalaması eşittir ve 10'dur.